Спектральные задачи с входящими параметрами в краевые условия возникают при решении многих прикладных задач математической физики [2-4, 8]. В соответствующих обратных задачах восстанавливаются неизвестные коэффициенты в уравнении и краевых условиях [5, 7, 9, 10]. Близкая по результатам работа [1] была посвящена восстановлению трех масс, сосредоточенных на тупиковых концах струнного графа с упругим закреплением, по 7 значениям собственных частот. В [6] рассматривается задача идентификации 6 параметров закрепления графа по 6 собственным значениям, однако при использовании такого же числа собственных значений решение оказывается неединственным. В данной статье в отличие от описанных выше работ восстанавливаются 3 параметра закрепления графа. Показывается единственность идентификации этих параметров по 6 собственным значениям.
Постановка обратной задачи. Рассмотрим граф 
в виде звезды из трех ребер-струн с одной общей вершиной графа в нуле (точка О). Длина 
-й струны равна 
, толщина струн одинаковая. Все три тупиковых вершины графа упруго закреплены. Каждая из струн может быть закреплена пружинками неодинаковой жесткости 
. В местах закрепления подвешены сосредоточенные массы 
. Известны также первые 6 собственных частот свободных колебаний графа . Требуется найти жесткости пружинок .
На каждом ребре графа G уравнение для собственных функций и частот имеет вид
, 
, 
(1)
Здесь мы используем в качестве аргумента 
расстояние от общего узла по оси OXi, 
, 
(
) – прогибы (отклонения от состояния равновесия) -ой струны, то есть вертикальные смещения c выходом из плоскости начального расположения струнного графа, а 
– спектральный параметр.
Считаем, что общая точка O (
, i = 1, 2,…,n) не закреплена каким-либо образом, а является свободной (подвижной).
Условия в общей точке имеют вид :
(2)
(3)
Краевые условия
, (4)
Условию (2) соответствуют условия непрерывности, условию (3) – баланс сил действующих на общую вершину графа (точку О – узел) со стороны каждой из примыкающих к узлу ребер, условия (4) – условия упругого закрепления ребер (струн) с сосредоточенными массами, где 
– коэффициент жесткости пружины упругого закрепления -ой вершины ребра, – сосредоточенная масса, прикрепленная к -ой вершине графа.
В терминах введенных обозначений задачу можно сформулировать следующим образом.
Постановка задачи: Пусть – неизвестны, а – известны и попарно различны, длины струн 
попарно одинаковы и равны единице. Требуется найти по известному набору собственных значений 
задачи (1)-(4).
Перед решением этой обратной задачи напомним, как решается прямая задача нахождения собственных значений.
Решением уравнения (1) является следующая функция
(5)
Выведем уравнение для вычисления собственных значений 
задачи (1) – (4).
Из (2) и (3) получаем 
, 
. Отсюда и
из (4) следует, что 
где 
; . Откуда
.
Знаменатель не обращается в нуль. Поэтому уравнение для вычисления собственных значений задачи (1) – (4) имеет следующий вид:
, 
. (6)
Вернемся теперь к обратной задаче. Уравнение (6) представляют собой систему бесконечного числа нелинейных уравнений с 
неизвестными (в нашем случае три неизвестных, т.к. ). Если все длины струн равны 
, то будет ровно 
наборов решений (в нашем случае 
).
Возникает вопрос: какое конечное число собственных значений нужно знать для однозначной идентификации трех закреплений графа?
Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, сведем (6) к системе линейных уравнений. Для этого приведем (6) к общему знаменателю. Нули числителя этой дроби и есть собственные значения задачи (1)-(4). Следовательно, собственные значения задачи (1)-(4) удовлетворяют следующему уравнению (числитель суммы (6) равен нулю):
(7)
где 
; 
; 
; 
; 
; 
;
; (8)
(9)
Пусть 
собственные значения задачи (1)-(4) подставим их в (7). В результате получим систему шести линейных уравнений от шести неизвестных 
:
, 
(10)
Из правил Крамера следует, что если определитель матрицы
(11)
системы уравнений (10) отличен от нуля, то неизвестные находятся единственным образом по формулам 
, где 
- определитель матрицы, получаемый заменой 
-ого столбца столбцом свободных членов.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если 
являются точными собственными значениями краевой задачи (1)-(4), 
и значения сосредоточенных масс попарно различны, т.е. удовлетворяют условию 
, то система (10) имеет единственное решение , определяемое по формулам Крамера , а значения коэффициентов жесткости пружинок 
, 
, 
находятся однозначно по формулам (9).
Доказательство:
Согласно правилу Крамера, если определитель матрицы (11), системы уравнений (10) отличен от нуля. Поэтому неизвестные находятся единственным образом по формулам , где - определитель, получаемый из определителя 
заменой -ого столбца столбцом свободных членов. Покажем теперь, что значения коэффициентов жесткости пружинок , , также находятся однозначно.
Допустим наряду с решением , , существует 
, 
, 
. Система (10) имеет единственное решение {
,
, 
,
,
,
}. Поэтому (9) можно записать в следующем виде:
Имеем, из трех уравнений системы (9) (содержащих только 
) 6 наборов решений, и, учитывая наше допущение, 
будут следующие 3! наборов решений:{
,
, 
}; {, 
, 
}; {
,
,}, {,,
}; {
, 
, 
};{, , }
Но в системе (9) есть еще три уравнения 
.
Проверим все ли наборы решений удовлетворяют этим трем уравнениям системы (9). Например, , , . Получили 1) 
или 
;2) 
или или ; 3) 
или 
или . Т.е. если 
, то 
. А это противоречит условию теоремы, согласно которому 
. Аналогичная ситуация при следующих наборах решений. Т.е. если наряду с решением , , существует решение , , , то 
, 
, 
. Из шести наборов решений последним трем уравнениям удовлетворяет только первый набор решений, в котором тройки , , и , , совпадают. Таким образом, при решении обратной задачи на восстановление значений коэффициентов жесткости получаем однозначное решение.
Пример 1. Пусть шесть собственных значения задачи (1)-(4) есть следующие значения: 
=0.9419374665, 
=1.673848777, 
=1.876338247, 
=2.635099364, 
=3.758863968, 
= 5.146231313 и известны 
(
) попарно различны, т.е. удовлетворяют условию:
, 
, 
. Требуется найти 
, 
, 
.
Воспользовавшись системой линейных уравнений (10) по формулам Крамера, получим однозначно 
5.99999997752987, 
5.80000000289103, 
5.10000002458480, 
1.38000000224032, 
11.0000000050655, 6.00000000977745. Используя формулы (9) коэффициенты жесткости пружинок равны 
1.00000001341475, 
1.99999991188333, 
3.00000009681947
Теорема (устойчивости решения). Если для любого положительного числа 
, существуют 
, такое что 
, тогда выполняется неравенство 
. Эта теорема следует из аналитичности 
и 
.
Предложение 1. Если константы краевой задачи (1)-(4) одинаковы 
(
=1,2,3), тогда константы (=1,2,3) в граничных условиях задачи (1)-(4) находятся с точностью до перестановок (=1,2,3) местами.
Пример 2. Пусть известен следующий набор собственных значений =0.9309993125, =1.6259086984, = 1.9149805237. Известны значения сосредоточенных масс =0.5 (=1,2,3). Требуется найти значения коэффициенты жесткости (=1,2,3). Подставив известные значения в (8, 9, 10, 11), получим:{ = 1.00000, = 1.99999, = 3.00000},{ = 1.00000, = 3.00000, = 1.99999},{ = 1.99999, = 1.00000, = 3.00000},{ = 1.99999, = 3.00000, = 1.00000},{ = 3.00000, = 1.00000, = 1.99999},{ = 3.00000, = 1.99999, = 1.00000}.
Предложение 2. Если константы краевой задачи (1)-(4) одинаковы
(=1,2,3), тогда константы 
(=1,2,3) в граничных условиях задачи (1)-(4) находятся с точностью до перестановок (=1,2,3) местами.
Таким образом, в настоящей работе показано, что для однозначной идентификации коэффициентов жесткости пружины по собственным значениям колебаний графа и известному набору сосредоточенных трех масс – достаточно использование шести собственных значений. Для решения задачи предложен метод дополнительных неизвестных.
Выявлено, что если сосредоточенные массы попарно различны, то коэффициенты жесткости пружинок находятся единственным образом. Если значения сосредоточенных масс одинаковы, то коэффициенты жесткости пружинок находятся с точностью до перестановок их местами.
Полученные результаты важны для конструирования виброзащитных систем, а также для диагностики таких систем.
Рецензенты:
Спивак С.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой математического моделирования. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Башкирский государственный университет», г. Уфа;
Султанаев Я.Т., д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник лаборатории «Механика твердого тела». Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научного центра Российской академии, г. Уфа.
Библиографическая ссылка
Ахтямов А.М., Аксенова З.Ф., Ахтямов А.М. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ УПРУГОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИЗ СТРУН // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1-1. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=18706 (дата обращения: 19.04.2024).