Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачи восстановления оператора по его заданным спектральным характеристикам, к которым можно отнести спектры, спектральную функцию, данные рассеяния. Подобным вопросам для различных операторов посвящен ряд работ таких известных математиков как В. А. Амбарцумян, В. А. Марченко, А. И. Прилепко, В. А. Садовничий, В. А. Юрко и др. [1, 8, 10] Наиболее исследована обратная задача для оператора Штурма – Лиувилля [6]. Впервые обратная задача для оператора Лапласа с потенциалом была поставлена Ю. М. Березанским [1].
Среди публикаций, относящихся к обратным задачам спектрального анализа для операторов с дискретным спектром, можно отметить работы Академика РАН В. А. Садовничего, В. В. Дубровского и их учеников [2–4, 7–9]. В настоящей работе получен результат для степени возмущенного оператора Лапласа на многомерном кубе с неядерной резольвентой.
Постановка задачи
Пусть 
–
-мерный куб, где сторона куба 
.
В сепарабельном гильбертовом пространстве 
рассмотрим следующие операторы:
1) оператор 
, порожденный краевой задачей Дирихле:
, 
,
где 
– оператор Лапласа, 
– граница куба 
;
2) оператор 
, порожденный краевой задачей Неймана:
, 
,
где , 
– нормаль к границе куба .
Введем оператор 
, где 
, 
– спектральное разложение единицы операторов 
, 
и 
при 
Собственным числам 
оператора 
соответствуют ортонормированные в H собственные функции 
при 
, и 
при 
, где 
– мультииндекс 
, 
, 
– символ Кронекера.
Будем нумеровать упорядоченные по возрастанию собственные числа и собственные функции оператора через 
и 
соответственно, где 
, 
, 
– кратность собственного числа 
, т.е. 
, .
Введем аналитические, ограниченные по модулю (но не в совокупности) в правой полуплоскости 
функции 
,
где нормирующие множители 
выбраны из условия 
, 
. Очевидно, что 
, где 
– символ Кронекера. Положим 
и пусть 
. Очевидно также, что 
, 
.
Введем следующие обозначения: 
– резольвента оператора , 
, 
– вертикальные прямые. Зафиксируем некоторое 
и из последовательности 
выберем максимальную подпоследовательность чисел 
, для которых выполняется неравенство
. Объекты, связанные с числом 
, в дальнейшем будем обозначать с использованием верхнего индекса 
.
Пусть 
, 
, 
, 
, 
– абсолютная операторная норма (для оператора Гильберта – Шмидта). Заметим, что 
. Хорошо известна [5] асимптотика собственных чисел оператора , при 
: 
(
,
), поэтому при 
ряд 
и оператор 
, где 
, суть оператор Гильберта – Шмидта, причем имеет место неравенство: 
,
Рассмотрим комплекснозначную функцию 
, где 
– пространство измеримых на 
, ограниченных в существенном функций, обладающую следующими свойствами:
, (1)
, (2)
(3)
(
). Функцию 
часто называют потенциалом.
Обозначим через 
– множество функций из пространства 
, обладающих свойствами (1) – (3), а через 
обозначим оператор умножения на рассмотренную выше функцию 
Поставим цель – зная собственные числа операторов , 
и некоторые дополнительные условия на функцию 
, доказать существование и единственность потенциала 
во множестве .
Результаты исследования
Теорема. Если для комплексной последовательности 
существует подпоследовательность 
такая, что выполняются следующие неравенства:
(i) 
,
(ii) 
,
то во множестве 
существует потенциал 
, такой, что для любого натурального 
имеет место равенство:
, где 
– спектр оператора .
Доказательство теоремы, также как и в работах [2, 4, 7], заключается в конструировании сжимающего оператора 
: 
, определяемого равенством:
, (4)
где 
, 
, и 
, 
– регуляризованный след оператора 
.
Далее доказывается, что оператор (4) является сжимающим на множестве 
:
Поскольку выбор подпоследовательности 
из последовательности 
ограничен лишь неравенством (i), то ее всегда можно выбрать так, чтобы число 
было меньше 1.
Итак, согласно принципу сжимающих отображений С. Банаха уравнение 
во множестве имеет единственное решение.
Замечание. Последовательность 
, удовлетворяющая условию (ii) существует.
Заключение
Таким образом, в работе доказана теорема о существовании и единственности симметричного потенциала, восстановленного по кратным спектрам двух краевых задач возмущенной степени многомерного оператора Лапласа с неядерной резольвентой.
Рецензенты:
Кадченко С. И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики, ФГБОУ ВПО «МГТУ им. Г. И. Носова», г. Магнитогорск;
Кузнецов В. А., д.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой высшей математики № 1, ФГБОУ ВПО «МГТУ им. Г. И. Носова», г. Магнитогорск.