В настоящее время эта задача решается с помощью численного моделирования оптической системы в среде одного из специализированных программных пакетов MicroWaveOffice, HFSS и др. Однако создание численной модели требует довольно большого времени, и, кроме того, получаемый при этом результат обычно затруднительно проанализировать, поэтому аналитическая оценка величины поляризационных искажений сохраняет актуальность.
Рассматриваемая задача может быть сформулирована следующим образом. На вход оптической системы, состоящей из двух зеркал, подаётся плоская линейно поляризованная волна. В фокальной плоскости системы формируется дифракционный кружок. Требуется оценить отношение амплитуд поля с изменённой (перпендикулярной исходной) и с исходной поляризацией в пределах дифракционного кружка.
При подстановке конкретных численных значений мы будем иметь в виду оптическую систему (см. рис.), представляющую собой телескоп с фокусным расстоянием 40 м и диаметром главного зеркала (рефлектора) 6 м, принимающий сигнал с частотой 100 ГГц.
Оптическая схема зеркального телескопа, содержащая рефлектор и контррефектор. D=2Rвх - диаметр входного зрачка, θ, θ2 - углы падения крайних лучей на рефлектор и контррефлектор, 2γ - угол схождения лучей в точке фокуса F
Все излагаемые ниже результаты получены в пренебрежении членами второго порядка в разложении фазы по расстоянию от оси симметрии оптической системы. Тем самым их справедливость ограничена углами расстояниями от оси, много меньшими (Rλ)1/2/f (анаберрационная область; R - расстояние от фокальной плоскости системы до контррефлектора, λ - длина волны, f - фокусное расстояние системы).
Разобьём задачу на части.
0. Отражение от бесконечного плоского зеркала
Пусть плоская линейно поляризованная волна падает на бесконечное плоское зеркало. Систему координат выбираем следующим образом: Ox направлена по вектору E, Oy по B, Oz по направлению распространения волны S=[EB]. (Эта же система координат используется и далее). Тогда проекции амплитуды электрического поля отражённой волны E' на Ox и Oy будут
(1а)
(1б)
Здесь φ - угол между E и проекцией нормали к зеркалу на плоскость {E, B}, θ - угол между нормалью к зеркалу и S. r1 и r2 - коэффициенты отражения по амплитуде для волны, поляризованной в плоскости падения и перпендикулярно таковой, вычисляемые по формулам Френеля. Приближённые выражения для них можно написать в виде
(2а)
(2б)
Здесь 
- комплексный показатель преломления металла на частоте ω, зависящий от удельного сопротивления ρ. Выписанные формулы для коэффициентов отражения и показателя преломления верны в пределе 
, что обычно хорошо выполняется: при соответствующем стандартным золотым плёнкам ρ=20 мкОм×см [3] и ω=2π×100 ГГц 
. Другим условием применимости формул Френеля для описания отражения от проводящего зеркала является малость толщины скин-слоя по сравнению с толщиной проводящего покрытия. Толщина скин-слоя может быть оценена по формуле 
и оказывается равной примерно 1 мкм.
1. Далее будем рассчитывать поля, формирующиеся вблизи фокальных точек разных оптических систем, пользуясь приближённым методом Френеля [1]. Точность метода ограничивается невозможностью учесть дифракционные эффекты на краях отражающих поверхностей; соответствующая относительная погрешность имеет порядок Lλ/S, где S - площадь отражающих поверхностей, L - длина границы отражающих поверхностей, λ - длина волны.
Сначала сформулируем метод для случая одного отражателя. В качестве поверхности F, на которой поле считается известным, выбираем поверхность отражателя. Поле на ней E'(r) с точностью до фазового множителя будет даваться формулами (1), в которых теперь углы φ и θ зависят от положения точки на поверхности отражателя. Поле в точке наблюдения можно найти как результат сложения вторичных волн, исходящих из разных точек поверхности F.
(3)
K - весовой множитель, зависящий от геометрии, χ(r) -фазы, с которыми волны приходят в точку наблюдения. В фокальную точку все волны приходят с одинаковой фазой, которую для удобства примем за 0.
(3а)
(R - вектор, проведённый из фокуса в данную точку поверхности отражателя). Если есть осевая симметрия, то для компоненты E'y тождественно получается 0.
При отклонении точки наблюдения от фокальной точки на вектор d, длина которого мала по сравнению с r, можно разложить r в ряд по в ряд по d/R с точностью до первого порядка, r=R-d≈R-(Rd)/R. К интегралу (3а) появятся поправки, причём относительная величина поправки от изменения фазы χ(r)≈kd (k-волновой вектор) при произвольном соотношении между d и λ, вообще говоря, порядка единицы, в то время как поправки другого происхождения имеют порядок малости (d/r) и могут быть отброшены. Это даёт возможность вычислить поле в точке наблюдения как
(3б)
Пример 1. Поле вблизи фокуса идеально отражающего кольцевого зеркала
Пусть зеркало представляет собой узкое кольцо радиусом R0, полученное сечением парабалоида двумя нормальными к его оси плоскостями. Пусть отражение идеальное, т.е. r1=-r2=1. Формулы (1) упростятся:
(4а)
(4б)
Электромагнитная волна падает параллельно оси кольца, угол между нормалью к поверхности кольца и S равен θ. Посчитаем поле в точке А, лежащей в фокальной плоскости и отстоящей от фокуса на расстояние d<<R0.
(5)
Пренебрежём зависимостью r в знаменателе от φ (при а=0 её нет, а при а<<R0 поправки в интеграл будут порядка порядка а/R0). Фазу разлагаем в ряд по а до первого порядка:
, (6)
здесь k - волновое число, R - вектор, проведённый из фокуса в данную точку кольца, α - угол между Ox и отрезком d, β - угол между R и плоскостью кольца (из геометрических соотношений β=π/2-2θ, cosβ=sin2θ). Тогда
, (7)
а в более расписанном виде
(7а)
(7б)
Интегралы выражаются через функции Бесселя первого рода J0 и J2:
. (8)
. (9)
Отсюда следует, что в рассматриваемом примере амплитуды поля с той и другой поляризацией в пределах кружка Эйри[1] сравнимы друг с другом, если только 
не мал.
Случай идеально отражающего параболического зеркала получается из случая кольца суммированием по всем кольцам, т.е. интегрированием по θ. Поскольку формулы для кольца не содержат быстро осциллирующих функций θ, результат для параболоида будет качественно таким же, и количественно отношение E'y/E'x будет того же порядка. При этом для оценки отношения E'y/E'x сверху можно воспользоваться формулами (8), (9), подставив в качестве θ угол между нормалью к краю зеркала и его осью (Вклад в E'y/E'x от крайнего кольца наибольший). В случае θ≈π/4 отношение E'y/E'x оказывается порядка 1 (при sin2α=1). Оно сильно меняется в пределах кружка Эйри.
2. Обобщение на случай двух (или более) отражающих поверхностей не представляет особого труда. В качестве поверхности F теперь можно выбрать, например, поверхность второго отражателя[2]. При этом поле на ней будет E''(r), будет результатом двух отражений - от первого и второго отражателей. Далее поле вблизи фокальной точки можно посчитать по формуле (3б), в которой вместо E'(r) будет E''(r).
Пример 2. Поле вблизи фокуса системы из двух идеально отражающих кольцевых зеркал - рефлектора и контррефлектора.
Угол, под которым волна падает на рефлектор - по-прежнему θ, угол между S и нормалью к поверхности контррефлектора - θ2
Поле отражённой волны на поверхности контррефлектора E'' даётся формулами
(10а)
, (10б)
в которых δθ=θ-θ2. Далее все выкладки формально идентичны выкладкам в случае одного кольцевого зеркала. Вся разница сводится к замене θ на δθ и β=π/2-2θ на β=π/2-2δθ (последнее следует из геометрии). Результат поэтому тоже даётся формулами (8), (9) с заменой θ на δθ.
Можно заметить, что в обоих случаях результат выражается через угол отклонения сходящихся в фокусе лучей от первоначального направления. Обозначим его γ. В первом случае γ=2θ, во втором - γ=2δθ.
Очевидным образом оценка сверху для отношения E'y/E'x в случае системы из идеально отражающих параболического рефлектора и гиперболического контррефлектора может быть снова сделана также, как в случае одного кольцевого зеркала. В качестве γ нужно взять угол между крайними приходящими в фокус лучами и осью. При фокусном расстоянии f, много большем радиуса входного зрачка Rвх, γ≈Rвх/f. При f=40 м, Rвх=3 м оценка даёт E''y/E''x≈(γ/2)2≈1.4×10-3.
3. При неидеальном отражении формулы (10) несколько усложняются; результат отражения начинает зависеть от углов θ и θ2 по отдельности. Особого смысла учитывать (малую) поправку к E''x нет, а результат для E''y выглядит так:
. (11)
Формула справедлива при |v| >> ` и γ<<1. Поскольку при γ<<1 углы θ и θ2 близки друг к другу, можно определить параметр η просто как 
.
4. В тех же предположениях поле в фокусе системы из двух неидеально отражающих кольцевых зеркал - рефлектора и контррефлектора:
, (12)
. (13)
Легко получаются аналогичные формулы и для системы из неидеально отражающих параболического рефлектора и гиперболического контррефлектора. Достаточно проинтегрировать (12), (13) по углам γ с весом γ [3]
, (14)
(это, естественно, стандартный результат для дифракции на круглом отверстии),
, (15)
(
,γm - угол схождения крайних лучей).
Поскольку η зависит от γ посредством θ, точно проинтегрировать второе слагаемое в (15) сложно. Поэтому для оценки (сверху) интеграла от него положено η=η(θm).
5. Удобным параметром для характеризации поляризационных искажений является отношение мощностей излучения с той и другой поляризацией, приходящихся на весь кружок Эйри. Мощность излучения с исходной поляризацией
, (16)
с поляризацией, перпендикулярной исходной
. (17)
Поляризационные искажения, обусловленные слагаемыми различной природы в (15), оценим для простоты по отдельности. В случае идеального отражения (искажения геометрической природы) результат точный
. (17а)
Оценка сверху для вклада, происходящего от неидеальности отражения
. (17б)
Таким образом, отношения соответствующих мощностей
, (18а)
, (18б)
При γm=Rвх/f=3/40=7.5×10-2
(Py/Px)геом=3.3×10-7 (=-65 дБ)
При соответствующем стандартным золотым плёнкам ρ=20 мкОм×см и частоте ω=2π×100 ГГц и угле падения крайних лучей θm=45º
(Py/Px)неид~10-6 (=-60 дБ)
Для гальванического алюминия (ρ=4 мкОм×см) на той же частоте
(Py/Px)неид~10-7 (=-70 дБ)
В порядке обсуждения полученного результата отметим, что вклады в поляризационные искажения, даваемые формулами (18а) и (18б), зависят от разных геометрических параметров оптической системы - угла схождения крайних лучей в фокусе γm и максимального угла падения крайних лучей на зеркала θm. Поэтому при решении задачи построения чувствительного поляриметра эти параметры оптической системы должны оптимизироваться совместно. В частности, не имеет смысла уменьшать один из вкладов в поляризационные искажения таким образом, чтобы он стал мал по сравнению с другим вкладом.
Вышеприведённые оценки, а также формулы (15) и (18) являются основным результатом данной работы. Несмотря на оценочный характер развитого метода, результат хорошо согласуется с данными численного расчёта, проделанного для телескопа описанной геометрии методом численного интегрирования уравнений Максвелла в конечных разностях (FDTD) [4], который дал для отношения (Py/Px) в случае зеркала из гальванического алюминия величину -62 дБ.
Научные исследования были проведены в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., государственный контракт № 14.740.11.0269, и ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России» на 2007-2012 годы, государственный контракт № 16.513.11.3064.
Рецензенты:
-
Вдовин В. Ф., д.ф.-м.н., в.н.с., Институт прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород.
-
Кошелец В. П., д.ф.-м.н., профессор, Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН, г. Москва.
-
Захарченко В.Д., д.т.н., профессор, профессор кафедры Радиофизики Волгоградского государственного университета, г. Волгоград.
[1] Кружок Эйри (определяемый по положению первого дифракционного минимума) для кольцевого зеркала имеет угловой размер а/f=2.4/(kRвх)=0.38λ/Rвх (f - фокусное расстояние, Rвх - радиус входного зрачка, совпадающий в данном случае с радиусом зеркала).
[2] Неоднозначность выбора поверхности F в действительности сказывается на результатах, даваемых методом Френеля, но уже во втором порядке по (d/R); первого порядка достаточно при d<<(Rλ)1/2, что даёт d/f<<1'. Впрочем, небольшое обобщение метода позволяет учесть и второй порядок.
[3] Это верно благодаря малости γ.