Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,737

РЕШЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ: ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО ОБЪЕКТА

Гарькина И.А. 1 Данилов А.М. 1 Петренко В.О. 1
1 ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства»
В приложении к исследованию пространственного движения управляемого объекта приводятся приближенные методы декомпозиции характеристического полинома. Методы основаны на использовании приближенного характеристического уравнения (рассматривается как основное уравнение; с точными числами). Используется и дополнительная информация, учитывающая степень неопределенности как самого уравнения, так и его решений; сводится к заданию абсолютных погрешностей используемых приближенных чисел. Погрешности чисел, участвующих в вычислениях, учитываются только для определения погрешности корня характеристического полинома при заданной максимальной погрешности округления, допустимой в процессе вычислений. По предложенной методике осуществляется декомпозиция продольного и бокового движений управляемого объекта. Методика рекомендуется для использования при когнитивном анализе и последующем синтезе композиционных материалов как сложных систем.
решение
основное уравнение
приближенное уравнение
декомпозиция
управляемый объект
пространственное движение
динамическая система
1. Баженов Ю.М., Гарькина И.А., Данилов А.М., Королев Е.В. Системный анализ в строительном материаловедении : монография. – М. : МГСУ: Библиотека научных разработок и проектов, 2012. – 432 с.
2. Будылина Е.А., Гарькина И.А., Данилов А.М. Моделирование с позиций управления в технических системах // Региональная архитектура и строительство. – 2012. – № 2. – С. 138.
3. Будылина Е.А., Гарькина И.А., Данилов А.М. Приближенные методы декомпозиции при настройке имитаторов динамических систем // Региональная архитектура и строительство. – 2013. – № 3. – С. 150-156.
4. Гарькина И.А., Данилов А.М. Опыт разработки композиционных материалов: некоторые аспекты математического моделирования // Известия высших учебных заведений. Строительство. – 2013. – № 8 (656). – С. 28-33.
5. Гарькина И.А., Данилов А.М., Домке Э.Р. Математическое моделирование управляющих воздействий оператора в эргатической системе // Вестник Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ). – 2011. – № 2. – С. 18-23.
6. Гарькина И.А., Данилов А.М., Домке Э.Р. Промышленные приложения системных методологий, теорий идентификации и управления // Вестник Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ). – 2009. – № 2. – С. 77-81.
7. Гарькина И.А., Данилов А.М., Пылайкин С.А. Тренажеры и имитаторы транспортных систем: выбор параметров вычислений, оценка качества // Мир транспорта и технологических машин. – 2013. – № 3 (42). – С. 115-120.
8. Данилов А.М., Гарькина И.А. Математическое моделирование сложных систем: состояние, перспективы, пример реализации // Вестник гражданских инженеров. – 2012. – № 2. – С. 333-337.
9. Данилов А.М., Гарькина И.А., Королева О.В., Смирнов В.А. Математические методы при разработке и управлении качеством материалов специального назначения // Строительные материалы. – 2010. – № 3. – С. 112-117.
10. Красовский А.А., Вавилов Ю.А., Сучков А.И. Системы автоматического управления летательных аппаратов. - М. : ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1986. – 479 с.

Прибли­жен­ное уравнение можно рассматривать как некоторое уравнение (основное) с точными числами (роль которых играют ос­новные числа соответствующих приближенных чисел) при наличии некоторой дополнительной информации о степени неопределенности самого урав­нения (его решений; сводится к заданию абсолютных погрешностей приближенных чисел).

Решается основное уравнение; участвующие в его записи чис­ла в процессе решения считаются точными. Погрешности же этих чисел учитываются только для определения погрешности корня и максимальной погрешности округления, допустимой в процессе вычислений.

Участвующие в записи уравнения приближенные числа варьируются в преде­лах их погрешностей. Тогда каждый из корней уравнения (с изме­ня­ющимися параметрами) описывает некоторое замкнутое множество. Модуль разности между переменным корнем, описывающим это множество, и корнем основного уравнения будет изменяться от нуля (когда переменное уравнение совпадет с основным) до некоторого наибольшего значения. Это наибольшее значение модуля разности даст безусловную погрешность. Абсолютная величина разности (между найденным и ближайшим к нему точным решениями основного уравнения) определяют услов­ную погрешность (зависит от вычислителя: он при желании может сделать ее как угодно малой). Сумма безусловной и условной погрешностей корня даст полную погрешность корня.

Если заданное прибли­же­ние уравнения имеет вид

то основное уравнение имеет вид

- неизвестное; - заданные приближенные числа.

В окрестности каждого однократного корня x0 определяет x как неявную функцию от . Справедливо

Если погрешности достаточно малы, то это со­от­ношение можно использовать для определения безусловной по­грешности корня x0:

В частности, для алгебраического уравнения

получаем:

Если все коэффициенты заданы с одинаковой абсолютной по­греш­ностью e, то

.

Как уже отмечалось, решение при­бли­жен­ного уравнения сводится к приближенному решению основного урав­нения. После того как ориентировочно найдена величина одного из кор­ней, вычисляется безусловная погрешность этого корня. Ориентируясь на требуемую величину условной погрешности результата, можно определить точность, с которой следует вести вычисления. Потерей точности будет отношение условной абсолютной погрешности к абсолютной погрешности округления, если вычис­ле­ния ведутся с одинаковым порядком последней значащей цифры, и от­но­шение соответствующих относительных погрешностей, если вы­чис­ления ведутся с постоянным числом значащих цифр. После определения корня для контроля вычисляется условная погрешность (до бесконечно малых второго по­рядка для однократного корня).

Отметим, определение условной погрешности корня x0 , не пре­во­с­ходящей его безусловной погрешности, может быть произведена и без вычисления самих погрешностей по формуле

В частности, для алгебраического уравнения, коэффициенты ко­то­рого заданы с одинаковой погрешностью e, справедливо

Например, для квадратного уравнения

или

(приближенное деление коэффициентов уравнения на 1,274) получим

.

Безусловные погрешности корней:

Чтобы условная погрешность не пре­вос­хо­дила безусловной, x1 следует вычислить с точ­нос­тью до тысячных, а x2 – до стотысячных;

.

Так как здесь определяются одновременно оба корня, то вы­чис­ления следует вести с таким расчетом, чтобы результат получился с пя­тью верными знаками после запятой. С этой целью добавляются дополнительные значащие цифры 00 в числе 12,362 и цифра 0 – в числе 1,2741. Потеря точности в дан­ном случае невелика (так как производятся всего четыре округ­ле­ния), так что в промежуточных операциях достаточно сохранить пять десятичных знаков:

Отметим, что вычисления, произведенные без запасных зна­ча­щих цифр, дали бы неверное значение . Это под­тверж­дает правильность сделанного ранее замечания о том, что погреш­ности заданных чисел следует учитывать лишь при определении безусловной погрешности корня. После этого при решении урав­не­ния заданные числа нужно считать точными (то есть решить основ­ное уравнение). Погрешностями участвующих в вычислениях чисел считаются только погрешности округления.

Для иллюстрации рассмотрим декомпозицию динамической системы [3; 5-7], характеристики которого приняты в соответствии с таблицей 2.1 [10] для случая М=0,9; H=12 км.

Продольное движение. Характеристический многочлен системы имеет вид

.

Заменой переменной получим многочлен

Действительных корней у многочлена нет. В соответствии с [10] при приближенных вычислениях воспользуемся таблицей значений функций

 

0

0,2

0,3

0,27

-

5,2

3,63

3,97

3,8

3,88

4,01

3,95

Таким образом, без построения графиков и с точностью до 0,002 можно принять;

Откуда

Боковое движение. Вычислив коэффициенты характеристического многочлена по таблице 2.2 [10], получим

или

.

Построив графики функций , убеждаемся, что все корни многочлена действительные (рис. 1).

Рис. 1. К декомпозиции бокового движения.

Соответственно

В уравнении

имеем:

Пользуясь таблицей значений и , находим решение уравнения , соответственно , .

Декомпозиция полинома представится в виде

С точностью до 10-2 получатся те же корни и соответственно .

Рассмотренный подход успешно использовался и при идентификации параметров кинетических процессов формирования физико-механических характеристик полидисперсных материалов [2; 4; 8; 9].

Рецензенты:

Кошев А.Н., д.т.н., профессор, профессор кафедры «Информационно-вычислительные системы», ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства», г. Пенза.

Логанина В.И., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Управление качеством и технологии строительного производства», ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства», г. Пенза.


Библиографическая ссылка

Гарькина И.А., Данилов А.М., Петренко В.О. РЕШЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ: ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО ОБЪЕКТА // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5.;
URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=14766 (дата обращения: 18.06.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252