Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ ОДНОМАССОВЫХ БАЛОК С НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ, ПОДВЕРЖЕННЫХ ВНЕЗАПНОМУ УДАЛЕНИЮ СВЯЗИ, МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА ПУАНКАРЕ

Талантов И.С. 1
1 ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»
В работе рассмотрен один из подходов к решению задачи о свободных физически нелинейных колебаниях, спровоцированных внезапным изъятием из системы связи. Приведены результаты расчета методом малого параметра Пуанкаре для однопролетной шарнирно опертой балки, несущей одну сосредоточенную массу. Записаны аналитические решения уравнений колебаний и круговых частот при задании нелинейной упругой характеристики балки полиномами 3–й и 5–й степени. Приведен алгоритм решения задачи на внезапное удаление связи из системы с учетом физической нелинейности методом малого параметра Пуанкаре. Сделаны выводы о целесообразности использования представленного подхода к расширению границ применимости метода оценки усилий в элементах, подверженных внезапному удалению связей.
метод возмущений
малый параметр Пуанкаре
прогрессирующее обрушение
внезапное удаление элементов
нелинейные колебания
1. Бондарев Ю.В., Нгуиен Тханх Суан. Расчёт стержневых систем при внезапном удалении отдельных элементов // Строительная механика и расчет сооружений. –2010, №4. – с. 43–48.
2. Кузнецов А.П., Кузнецов СП., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания: Учеб. пособие для вузов.—М.: Издательство физико–математической литературы, 2002.—292 с.
3. Найфэ А. Введение в методы возмущений / А. Найфэ: Пер. с англ Е.И.Зино, Э.А.Троппа. – М.: Мир, 1984, 535с.
4. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. / Т. Хаяси. под ред. Боголюбова В.Е.– М.: Издательство «Мир», 1968. – 432 с.
5. Хромов В. Г., Хромов И. В. Выбор аппроксимирующей функции для диаграммы растяжения материала в задачах технологической механики стержня // Вестн. СевГТУ. Механика, энергетика, экология. - 2007. - Вып. 80. - С. 20 - 22.

Сторонники подхода к рассмотрению поведения стержневых систем, подверженных внезапному удалению связей как совершающих свободные колебания с начальными условиями, сталкиваются, в первую очередь, с очень жесткими границами применимости этого метода, вызванными физическими характеристиками материала несущих конструкций. Действительно, в подавляющем большинстве реально существующих конструкций, не рассчитанных на сопротивление каким–либо экстремальным воздействиям, запас прочности стремится к минимуму, следовательно, при внезапном изъятии из системы связи, усилия в соседних элементах после перераспределения почти наверняка превысят предел упругости. Как следствие, необходимо рассматривать уже нелинейные колебания, в которых восстанавливающие силы помимо времени зависят и от обобщенной координаты. Настоящая статья посвящена поиску аналитического решения задачи о свободных поперечных колебаниях балки, несущей сосредоточенную массу, упругая характеристика которой близка к низкоуглеродистой стали.

Задание упругой характеристики

В качестве выражения, описывающего упругие свойства материала, примем полином n–ой степени вида[5]:

(1)

Для стали, одинаково работающей на растяжение и сжатие вид графика будет симметричным относительно нуля, а коэффициенты полинома при неизвестных в четной степени ничтожно малы по сравнению с коэффициентами при степенях 1, 3, 5… Таким образом, выражение упругой характеристики принимает вид:

(2)

В качестве примера ниже представим диаграмму растяжения–сжатия стали (рис.2), заданную в виде линейного графика () и двух полиномов 3–й () и 5–й ()) степени. Значения прогиба и соответствующие напряжения близки к значениям, соответствующим расчетной схеме, представленной на рис.1.

Рис.1

Рис. 2

Отметим, что в настоящей статье абсолютные значения напряжений, прогибов и усилий в балке приняты приблизительно, не принимая во внимание явления, сопряженные с поведением стали в упруго-–пластической зоне, как–то: явление гистерезиса, динамическое упрочнение, уменьшение площади сечения. Главным предметом изучения является получение уравнений колебания балки с нелинейной упругой характеристикой. Численные значения приводятся исключительно для получения наглядных результатов, порядок которых близок к реальным с учетом вышеприведенных оговорок.

Границами применимости каждого из нелинейных графиков условимся принимать значение абсциссы, при которой достигается первый экстремум функции. Так, в нашем случае это 6,414см для полинома 3-й степени и 4,467см для полинома 5-й степени.

Задача о колебаниях одномассовой балки с нелинейной упругостью, описываемой полиномом 3-й степени

Принципиальное отличие рассматриваемого случая от линейной постановки заключается в том, что в уравнение равновесия помимо сил инерции и упругих сил балки должен входить также вес массы. В теории линейных колебаний, как правило, влияние собственного веса опускают в связи с тем, что ни амплитуда, ни частота колебаний не зависят от веса балки и начальных условий, а при необходимости определения величины усилий в сечениях можно использовать принцип независимости действия сил.

Как известно, в нелинейной постановке принцип суперпозиции не выполняется, и действие собственного веса необходимо учитывать в основном дифференциальном уравнении.

Рассмотрим балку на двух опорах, несущую одну сосредоточенную массу. Отклоним массу на небольшую величину и составим уравнение всех сил, действующих на систему:

, (3)

где F(x) – упругая характеристика, P=Const – собственный вес массы m.

Упругую характеристику опишем полиномом 3–й степени вида:

,

где – некий малый параметр.

В литературе широко описано применение метода малого параметра Пуанкаре [4, c.22; 3, c180] для решения классических задач нелинейной механики, например, осциллятора Дуффинга [2, с.122].Для решения более широкого круга задач будем учитывать константу B, являющуюся множителем при x.

В решении ограничимся рассмотрением только членами при µ первого порядка.

Разделив на m и сгруппировав слагаемые, получим:

, где (4)

; ; ;

Аналитическое решение методом малого параметра разделено на множители и приведено в табл.1.

Таблица 1

Частоты колебаний и перемещения массы при учете разных степеней малого параметра. Упругая характеристика задана полиномом 3–й степени

Порядок малого параметра

Круговая частота, ωn

Координата, xn

0

1

2

Итоговое решение [1, с. 24]:

(5)

(6)

В линейной постановке с учетом действия постоянной силы P=Const дифференциальное уравнение, описывающее колебания балки будет иметь вид:

(7)

А его решение:

, (8)

где .

Для наглядного представления и количественной оценки рассмотрим пример, описанный в начале (рис.1).

Упругая характеристика балки, описанная функцией (кН):

F3(x)=14,817x-0,116x3

Собственный вес (кН):

P=Const=46,6 кН

Сумма всех действующих сил:

Итоговый вид нелинейного дифференциального уравнения:

Соответственно, значения коэффициентов уравнения (4):

α=-981,053 β=311,937 δ=2,442 μ=1

В линейной постановке упругая характеристика балки описана функций . (см. рис.1). Её вид:

Fl(x)=9,719x

Итоговый вид нелинейного дифференциального уравнения:

Перемещения массы при разных значениях начального отклонения (A) и учете слагаемых при разных степенях малого параметра приведены в табл. 3. На графиках представлены два случая – при отклонениях, вызывающих колебания, близкие к линейным (рис.3а ), и сильно нелинейные колебания (рис.3б).

Рис. 3а

Рис.3б.

Задача о колебаниях одномассовой балки с нелинейной упругостью, описываемой полиномом 5–й степени

Вернемся к диаграмме растяжения–сжатия, представленному на рис.2. Очевидно, что аппроксимация полиномом более высокой степени дает более точный результат и для повышения точности метода следует по–возможности использовать полином 5–й степени.

Уравнение (4) в этом случае принимаем вид:

(9)

Аналитическое решение методом малого параметра приведено в табл.2.

Таблица 2

Частоты колебаний и перемещения массы при учете разных степеней малого параметра. Упругая характеристика задана полиномом 5–й степени

Порядок малого параметра

Круговая частота, ωn

Координата, xn

0

1

2

см. ниже*

*

Значения ω и x(t) определяются по уравнениям (5) и (6), соответственно.

Значения коэффициентов, входящих в уравнение (9) и соответствующих кривой, изображенной на рис.2:

α=-981,053 β=414,956 δ=9,009 γ=-0,008 μ=1

Перемещения массы при разных значениях начального отклонения (A) и учете слагаемых при разных степенях малого параметра приведены в табл. 3. На графиках представлены два случая – при отклонениях, вызывающих колебания, близкие к линейным (рис.4а ), и сильно нелинейные колебания (рис.4б):

Рис.4а.

Рис. 4б

Сводные таблицы расчетов

В таблицах ниже xl, x3 и x5 – перемещения массы в случае задания упругой характеристики балки функциями σl, σ3, σ5, соответственно; ωl, ω3 и ω5 – круговые частоты при σl, σ3, σ5.

Результаты приведены для начальных отклонений A, соответствующих упругим (A=1см), близким к пределу текучести (A=2см) и лежащим за пределом текучести (A=4,4см) напряжениям в балке.

Таблица 3

Перемещения массы при учете разных степеней малого параметра. Сравнение балки с линейной и нелинейной упругостью

Порядок малого параметра

Min xl

Min x3

Min x5

A=1 см

0

6,04126

0,99980

504

0,99948

504

1

7,28923

17,12

5,72671

5,49

2

7,33841

17,68

5,82850

3,65

A=2 см

0

7,04115

1,99973

252

1,99951

252

1

8,28938

15,06

6,72741

4,66

2

8,48607

17,03

7,12354

1,16

A=4,4 см

0

9,44089

4,39989

114,6

4,39998

114

1

10,6899

11,68

9,12844

3,42

2

11,6417

18,90

10,7742

12,37

Таблица 4

Круговые частоты колебаний при учете разных степеней малого параметра. Сравнение балки с линейной и нелинейной упругостью

Порядок малого параметра

Min ωl

Min ω3

Min ω5

A=1 см

0

6,0413

17,6617

10,474

20,3705

3,257

1

17,6099

10,737

20,206

2,422

2

17,2837

12,390

19,432

1,498

A=2 см

0

19,728

17,6617

10,474

20,3705

3,257

1

17,4543

11,525

19,727

0,007

2

16,8007

14,839

18,239

7,546

A=4,4 см

0

19,728

17,6617

10,474

20,3705

3,257

1

16,6579

15,562

17,6197

10,687

2

15,1897

23,005

14,9470

24,234

Отметим несколько закономерностей:

1. Необходимо учитывать члены, степень малого параметра при которых не меньше единицы.

2. При небольших начальных отклонениях особенно сильно проявляется погрешность использования полинома 3–й степени. Так, перемещения массы при начальном отклонении 1 см в линейной постановке должно быть максимально приближено к нелинейной. При использовании упругой характеристики σ3 погрешность составляет 17,12% – 17,68% , тогда как для σ5 эта величина 5,49% – 3,65%. Похожая картина и для отклонения 2см, также соответствующего упругой работе материала.

3. По мере роста начального отклонения существенно растет значимость использования членов при высших степенях малого параметра.

Следует обратить внимание, что в указанных примерах причиной возникновения колебаний является действие постоянного веса массы и начальное отклонение от положения статического равновесия, причем величина начального отклонения в представленных примерах целенаправленно принята независящей от веса.

При реальном расчете балки с нелинейной упругой характеристикой, несущей сосредоточенную массу и подверженной внезапному удалению связи, величина начального отклонения будет фиксированной. Алгоритм расчета на внезапное удаление связи будет следующим:

  • Статический расчет системы до удаления связи. Определение смещения массы Δ0.
  • Выбор аппроксимирующей функции для упругой характеристики балки, запись коэффициентов α, β, δ, γ, μ.
  • Статический расчет физически нелинейной системы после удаления связи. Определение смещения массы Δ1.
  • Определение величины начального смещения как разности величин Δ1 и Δ0.
  • Подстановка всех величин в уравнения (5) и (6).

Выводы

  1. Метод малого параметра Пуанкаре применим для динамического расчета одномассовой балки с нелинейной упругой характеристикой, подверженной внезапному удалению связи, и позволяет аналитически получить решение задачи о собственных колебаниях.
  2. Учет нелинейности позволяет в несколько раз расширить границы применимости метода, описанного в [1] за счет роста максимально возможного начального отклонения массы, даже если соответствующие ему напряжения лежат за пределом упругости.
  3. Точность решения сильно зависит от функции, описывающей нелинейно–упругую характеристику балки, поиск этой функции является отдельной, довольно трудоемкой задачей.
  4. Развитие подхода требует учета явления гистерезиса.

Рецензенты:

Масленников А.М., д.т.н., профессор кафедры Строительной механики, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет», г. Санкт-Петербург;

Кондратьева Л.Н., д.т.н., профессор, зав. кафедрой Строительной механики, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет», г. Санкт-Петербург.


Библиографическая ссылка

Талантов И.С. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ ОДНОМАССОВЫХ БАЛОК С НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ, ПОДВЕРЖЕННЫХ ВНЕЗАПНОМУ УДАЛЕНИЮ СВЯЗИ, МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА ПУАНКАРЕ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5.;
URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=15187 (дата обращения: 17.09.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252