Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,737

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПО ОРТОНОРМИРОВАННОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ

Султанкулова А.Л. 1 Тохаева А.О. 1 Серикбаева Г.И. 1 Сулейменова Н.К. 1 Сулейменов К.М. 1
1 Университет «Туран-Астана»
При изучении разделов теории приближения, одним из важных подходов является разложение функций в функциональный ряд по некоторой системе функций, затем изучая сходимости (аналогично абсолютной сходимости рядов Фурье), исследуем свойства самой функции. Кроме того, разложение функции по системе Хаара применяются в исследованиях по теории вложения классов функций, при этом основная задача заключается в нахождении необходимых и достаточных условий вложения, по которым будет выяснена потеря гладкости при переходе функции из одного класса с определенной метрикой в другой, с более высшей метрикой. Данная работа тесно связана с цифровой обработкой сигнала (ЦОС), потому что основной задачей ЦОС является преобразование непрерывного сигнала в дискретный. В работе вводится системы типа Хаара, затем доказывается ортонормированность данной системы и применение в разложении степенной функции по определенной ортонормированной системе функций.
ортонормированность системы функций
Система функций типа Хаара
1. Андриенко В.А. О необходимых условиях вложения классов функций // Мат. сборник, 1969, 78, № 2, С.280-300.
2. Айдосов Е.Ж. О соотношениях между между модулем непрерывности и наилучшими приближениями функции по системе Хаара в разных метриках // ИАН Каз ССР. сер. физ. мат., 1987, №5, С.3-7.
3. Кудайбергенов С.С. О вложении классов функций, определяемыз посредством наилучших приближений по системам Франклина, Хаара и Уолша: Дисс. … канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 Алма – Ата, 1989.-112с.
4. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Сравнительное изучение двух вейвлетных базисов// Проблемы передачи информации, 2000, Т.36, Вып. 2, стр. 27-37.
5. Nguyen Xuan Ky. Some embedding theorems concerning the moduli of Ditzian and Totik //Analysis Math.,1993,V.19, Р.255-265.
6 Сулейменов К., Темиргалиев Н. Критерий вложения в пространства Лоренца// Analysis Math., 2006, №32, С.283-317.
7 Темиргалиев Н. О вложении в некоторые пространства Лоренца// Изв. вузов, 1980, 217, №6, С. 83-85.
8. Ульянов П.Л. О вложении некоторых классов функций // Мат. заметки, 1967, 1, №4, С.405-414.

Как известно, ортонормированная система Хаара была применена во многих исследованиях по теории вложения классов функций [2-3], к примеру, вложения классов , где - заданный модуль гладкости общего вида, исследования по которому начались из работ П.Л. Ульянова [8], а затем имели определенные развития (см., напр., в [1], [2-3], [5-7]).

Данные исследования тесно связаны с цифровой обработкой сигнала, а именно, с преобразованием непрерывного сигнала в дискретный, т.е. рекуррентным соотношением в некотором ортогональном базисе [4], а именно, данную ортонормированную систему функций следует преобразовать сохраняя ортогональность, затем можно принять в качестве импульса сигнала, исследуя влияние введенного параметра при разложении непрерывного сигнала в виде суммы дискретных функций.

В данной работе, система Хаара, в определенном смысле, обобщается, а именно, вводится некоторый параметр , доказывается ортонормированность введенной системы и и исследуется влияние данного параметра в разложении некоторой (степенной) функции в ряд по определенной системе, причем устанавливается условие на введенный параметр. Дальнейшим продолжением теоретических исследований, предполагается исследования по разложению сигналов не степенного вида, а функции из класса .

Работа состоит из двух разделов. В первом разделе определяется система типа Хаара и доказывается ортонормированность. Во втором разделе определяются коэффициенты разложения степенной функции по ортогональной системе функций.

1 Ортонормированная система типа Хаара

Определение. Пусть даны числа и целое . Систему функций , определенную в виде

назовем системой типа Хаара.

Замечание. Данная система определена по аналогии определения системы Хаара.

Справедлива

Теорема 1. Пусть даны число и целое . Тогда определенная на сегменте система типа вида (, и )

(1)

является ортонормированной системой функций.

Доказательство. Покажем нормированность системы, т.е. справедливость

. (2)

Пусть и . Тогда

. (3)

Действительно, при и , имеем

.

Теперь, при и , получим

,

тем самым, (3) доказано. Дя любого докажем соотношение (2). В самом деле, для

,

будем иметь

,

т.е. соотношение (2) доказано.

Теперь покажем ортогональность системы при . Для этого достаточно показать справедливость

. (4)

Действительно, по определению функций, произведение функций равно нулю, а именно, справедливо

,

поэтому,

.

Отсюда, теорема для случая доказана. Рассмотрим следующий случай.

Пусть , и . Сначала, предположим . Тогда, если

,

то

. (5)

Отсюда

.

Из последнего равенства

.

Для случая

,

справедливо

. (6)

Тогда

.

Из данного равенства получим

.

Если . и , то

,

а при

.

Поэтому, для случаев , и , а вместе с ними и для

.

Пусть , . В этом случае, можно повторить рассуждения, приведенные выше.

Теорема 1 доказана полностью.

2 Разложение функции по ортонормированной системе функций

Рассмотрим некоторое простое приложение введенной ортонормированной системы функций для практического разложения функции. Имеет место

Теорема 2. Пусть даны числа , и целое . Для функции на промежутке имеет место следующее

, (7)

где,

,

.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай , . Определим коэффициенты разложения следующим образом

.

Таким образом, при ,

и

.

При , , имеем

.

Отсюда, при ,

и

.

Таким образом, коэффициенты разложения будут иметь вид

и

.

Теорема 2 доказана полностью.

Рецензенты:

Адамов А.А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Математического и компьютерного моделирования» ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, г.Астана;

Тусупов Ж.А., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Информационные системы» ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, г.Астана.

Лубенцов В.Ф., д.т.н., профессор, зам.директора по научной работе, профессор кафедры «Информационные системы, Электропривод и автоматика», Невинномысский технологический институт ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет», г.Невинномысск.


Библиографическая ссылка

Султанкулова А.Л., Тохаева А.О., Серикбаева Г.И., Сулейменова Н.К., Сулейменов К.М. ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПО ОРТОНОРМИРОВАННОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5.;
URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=15294 (дата обращения: 25.06.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252