Сетевое издание

Современные проблемы науки и образования

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Вдовин А.Ю. 1 Рублева С.С. 1

---

1 УГЛТУ

Работа выполнена в рамках подхода, предложенного Ю.С. Осиповым и А.В. Кряжимским для построения динамических методов восстановления неизвестного управления в квазилинейной системе, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, по неточной информации о ее состояниях. Указанная задача относится к классу некорректных. Первоначально этот подход был ориентирован на восстановление разрывных управлений из пространства L2 на конечном временном промежутке [a, b]. Существенным моментом при изучении численного метода является вопрос о точности результата восстановления управления по отношению к величине погрешности измерения фазовых координат системы. В статье указываются дополнительные условия, накладываемые на динамическую систему и степень гладкости управления, позволяющие получить гарантированную оценку точности модифицированного алгоритма на бесконечном временном промежутке в равномерной метрике. Указанная оценка оказывается асимптотически оптимальной по порядку.

Статья в формате PDF

180 KB

восстановление управления

оценки точности

динамический алгоритм

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. – М. : Наука, 1977. – 224 с.

2. Вдовин А.Ю., Рублева С.С. О гарантированной оценке точности динамического восстановления управления (случай непостоянства ранга матрицы) // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна – 2008. – Воронеж : ВорГУ. – 2008. – С. 54–68.

3. Вдовин А.Ю., Рублева С.С. О гарантированной точности процедуры динамического восстановления управления с ограниченной вариацией в системе, зависящей от него линейно // Математические заметки. – 2010. – Т. 87. – Вып. 3. – С. 337-358.

4. Osipov Y.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. – London : Gordon and Breach, 1995. – 625 p.

5. Vdovin A.Y., Rubleva S.S. On stable reconstruction of the impact in the system of ordinary differential equation // Scientific Research. Applied Mathematics. ISSN 2152-7385 (Print). – 2010. – Vol. 1. – No 2. – P. 118-124. ISSN 2152-7393 (Online). – URL: http://www.scirp.org/journal/am. (дата обращения: 8.10.12).

Ю.С. Осиповым и А.В. Кряжимским в [4] предложен динамический подход, позволяющий в режиме реального времени восстанавливать неизвестное управление  в системе вида

 (1)

по неточной информации  о движении системы  (– евклидова норма,), доступной в узлах временного промежутка.  

Предполагается, что  и  – отображения: в  и в пространство матриц размерности  со спектральной нормой (), соответственно; при  значения измеримой функции u(t) принадлежат выпуклому компакту  каждое значение x(t) является внутренней точкой компакта  Известно, что в общем случае эта задача является некорректной, поскольку множество управлений, порождающих конкретное движение, вообще говоря, неодноэлементно. Упомянутый выше подход основан на идее стабилизации аналога функционала А.Н. Тихонова с помощью процедуры экстремального прицеливания, введенной Н.Н. Красовским в теории позиционных дифференциальных игр, и его специфика состоит в том, что он позволяет восстанавливать нормальное управление  – управление, обладающее минимальной нормой в , среди всех управлений, порождающих наблюдаемое движение, в режиме реального времени.

Формально реализация алгоритма состоит из следующих этапов.

1. До начала работы задается разбиение промежутка и выбираются величины: ,  (далее для простоты полагаем ), , , и значение , полагается равным проекции нуля на компакт Q.

2. На каждом шаге  вычисляется:

а) состояние  системы модели, функционирующей по правилу

;

б) значение  – результат проекции на Q вектора  .

Таким образом, формируется приближение  в виде кусочно-постоянной функции  при . Описанный выше алгоритм  получил название метода динамической регуляризации. В цитируемой работе доказано следующее.

Утверждение 1. Пусть  удовлетворяют условию Липшица по совокупности переменных с общей константой L;   согласуются так, что величина  стремится к нулю вместе с h. Тогда  является  нормально регуляризирующим, то есть

Введем вспомогательные понятия.   

Определение 1. Функция  называется нижней (верхней) оценкой точности

алгоритма в функциональном пространстве F, если существует  такое, что для всех

 имеет место неравенство .

Определение  2 . Функцию  назовем порядком точности при уровне погрешности , если существуют   такие, что , а число  – асимптотическим порядком точности.

В работе [3] получены верхние и нижние оценки точности  – модификации исходного алгоритма , позволяющей отказаться от трудоемкой процедуры проектирования на компакт при построении , в метрике пространства .

Утверждение 2. Пусть: 1) ранг матрицы  постоянен, вариация  ограничена при ; 2) значения  являются внутренними точками соответствующего компакта ; 3) компакт  содержит 0; 4) существует  такое, что для всех  величины ,  ограничены. Тогда при выборе параметров ,  асимптотический порядок точности  в пространстве равен ½.

Возможность получения асимптотического порядка точности в равномерной метрике () для  рассматривалась в [5].

Утверждение 3. Пусть: 1) выполнены условия утверждения 2; 2)  удовлетворяет условию Липшица на ; 3) известно  такое, что , . Тогда при выборе параметров , ,  асимптотический порядок точности в равномерной метрике равен ½, то есть порядок точности данного алгоритма является асимптотически оптимальным.

Поскольку известно, что нижняя оценка точности  в равномерной метрике удовлетворяет условию , то цель работы состоит в получении верхней оценки точности  в равномерной метрике на промежутке . Пусть задано точное начальное условие , тогда согласно подходу, предложенному в [5], система (1) при выборе ,может быть приведена к виду  

 (2)

Выполнение условий утверждения 3 гарантирует существование положительных констант Mf, Mg, Mv таких, что , . Через Lv обозначим константу Липшица нормального управления . При отказе от проектирования на компакт, постоянное приближение  управления  на каждом шаге  определяется следующим образом:  

Зафиксируем . Управление   и систему – модель

   (3)

где назовем виртуальными. Для получения асимптотического порядка точности  оценим сначала , а затем норму разности . Если предположить невырожденность матрицы коэффициентов при управлении  вдоль наблюдаемой траектории, то подход, предложенный в [2] для получения оценки первой из указанных норм, может быть использован и в случае бесконечного временного промежутка:

решение задачи Коши (3) представим в виде

 (4)

где  – решение дифференциального уравнения

     (5)

с начальным условием  (E – единичная матрица). Интегрирование по частям от a до t второго слагаемого из правой части (4), с учетом (2) и (5), приводит к равенству

В силу свойств обратной матрицы, с учетом дифференциального уравнения (5), имеем:

     (6)

Обозначим . Введем понятие оператора восстановления значения F(t). Пусть , ,  и .  

Рассмотрим представление  Интегральный оператор в левой части последнего равенства назовем оператором восстановления значения ,  – погрешностью, а  его ядром.

Утверждение 4. [3] Пусть выполнены условия утверждения 3. Тогда существует h1>0 такое, что для всех , ,  имеет место оценка , где  точная нижняя грань на  минимального собственного числа матрицы .

Несложно убедиться в результатах лемм 1, 2.

Лемма 1. Если матрица , отображение  удовлетворяет условию Липшица с константой Lp и для всех  справедливы оценки ,, то .

Лемма 2. Пусть выполнены условия утверждения 3, матрица  обратима на промежутке . Тогда F(t) удовлетворяет условию Липшица с константой , равной .

Лемма 3. Пусть выполнены условия утверждения 3;  стремятся к нулю вместе с h, при , и . Тогда существуют  такие, что для всех  погрешность оператора восстановления значения F(t) удовлетворяет оценке:  где  выписываются конструктивно.

Доказательство. Пусть  при , определим

, ,

.

Оценим каждую из указанных величин. В силу утверждения 4, дифференциального уравнения (5) для  справедливо:

Для получения оценки  воспользуемся результатами лемм 1, 2:

Для , с учетом начального условия:

Тогда

где , .

Заметим, что для любого  

можно указать  такое, что для всех  справедливо  из которого следует требуемый результат.

Следствие. В силу (6), ограниченности  и утверждения 4 существует  такая, что для всех  имеет место неравенство .

Лемма 4. Пусть выполнены условия леммы 3. Тогда существуют ,  такие, что для всех  справедлива оценка   

Доказательство. В силу леммы 3 и равенства (6):,

из этого следует существование ,  по норме меньшего единицы такого, что

.

 Разрешая последнее уравнение относительно , получаем:

,

поэтому , последнее влечет справедливость леммы.

Далее займемся оценкой нормы разности  и . Заметим, что при

, 

является реализацией метода Эйлера для уравнения (3) с неточно заданной правой частью.

Отметим, что      

(7)

Теперь, для получения окончательного результата требуется оценить  и .

Введем вспомогательную систему, которую можно трактовать как метод Эйлера, для решения дифференциального уравнения (3) с точно известной правой частью:

     (8)

при  и .

Лемма 5. Пусть выполнены условия леммы 3, тогда существуют ,  такие, что всех  и  имеет место неравенство:  

Доказательство. В силу (3) и (8)

.

Из последнего следует оценка сверху для нормы разности  и :

 (9)

Рассмотрим . Согласно [1] для симметричной матрицы имеет место представление , где  - диагональная матрица с элементами . Поэтому существует  такое, что всех тогда

В силу полученной оценки неравенство (9) при ,  принимает вид:

из которого, с учетом начальных условий для и , по индукции получаем

полагая , приходим к требуемой оценке.

Рассуждения, аналогичные приведенным в лемме 5, с учетом полученного в ней результата, позволяют сформулировать:

Лемма 6. Пусть выполнены условия леммы 3, тогда существуют , ,  такие, что всех  и  справедливо неравенство: ,

где , .

Из лемм 5, 6 непосредственно следует:

Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы 3. Тогда для всех

  .

Следствие 1. Из ограниченности  и леммы 7 следует ограниченность  на , при этом существует  такая, что для всех имеет место:

Лемма 8. Пусть выполнены условия леммы 3. Тогда существуют , ,  такие, что всех  имеет место неравенство  .

Доказательство. На основании (7) имеем:

Тогда с учетом следствия 1 из леммы 3, леммы 7, при выборе

,приходим к требуемому результату. Лемма доказана.

На основании лемм 4, 8 справедлива

Теорема (верхняя оценка точности). Пусть выполнены условия леммы 3, , тогда верхняя оценка точности  в равномерной метрике на  имеет вид

Замечание 1. Оптимизация асимптотического порядка верхней оценки точности  реализуется выбором , , , при этом .

Замечание 2. Приближение искомого неизвестного управления  из системы (1) будет иметь вид .

Рецензенты:

Короткий А.И, д. физ.-мат. н., профессор, зав. отделом ИММ УрОРАН, г. Екатеринбург,

Ким А.В., д. физ.-мат. н., профессор, руководитель группы ИММ УрОРАН, г. Екатеринбург.

Бичурин Мирза Имамович, д.ф.м.н., профессор, заведующий кафедрой проектирования и технологии радиоаппаратуры, Новгородский государственный университет, г. Великий Новгород.

Библиографическая ссылка