В настоящее время в основном усилиями российских ученых создана теория минимаксного (гарантированного) оценивания, результаты которой успешно внедрены при обработке телеметрической информации от космических аппаратов, при реализации информационных систем в различного рода управляющих комплексах и на других объектах [1,3,4].
Согласно этой теории в простейшем случае полагается, что модули компонент ошибок линейной модели являются ограниченными четкими числами. Далее показывается, что минимаксная ошибка оценок параметров модели, которые находятся с помощью несмещенного алгоритма оценивания, определяется путем решения соответствующей четкой задачи линейного программирования. В этой же теории рассматриваются более сложные модели ошибок, которые приводят к различным задачам нелинейного математического программирования относительно параметров алгоритма оценивания.
Ниже рассматривается нечеткий аналог различных задач минимаксного оценивания, в которых предполагается, что ошибки возмущений являются нечеткими переменными. Это позволяет синтезировать нечеткий алгоритм робастного оценивания, который на наш взгляд более адекватно учитывает возмущения на промышленно-действующих системах.
1.предварительные сведения [6-8]
Ниже рассматриваются некоторые положения теории нечетких множеств, которые далее будут использованы для разработки общей модели нечетких возмущений и затем для синтеза простейшего алгоритма нечеткого оценивания, реализуемого в виде нечеткой задачи линейного программирования.
1.1. Нечеткое число определяется как отображение , где – функция принадлежностей. Из-за отсутствия взаимной однозначности выделяются «левая» и «правая» ветви относительно , каждая из которых определяет уже взаимно однозначное отображение. В теории нечетких множеств используется эквивалентная уровневая форма представления нечеткого числа, задаваемая в виде обратного отображения .Для отображения выделяются «нижняя» и «верхняя» ветви.
Таким образом, для нечетного числа используется цепочка эквивалентных представлений:
Относительно должны выполняться следующие свойства:
(i) функция полунепрерывна сверху;
(ii) функция монотонно возрастает;
(iii) функция монотонно убывает.
(iv)
Кроме этого для должно выполняться условие . Если имеет треугольную форму, то перечисленные свойства выполняются для остроугольного треугольника, поэтому не каждый тупоугольный треугольник может изображать нечеткое число.
Обычно применяется обозначение:
Арифметические
операции («+», «-», «х», «÷») для нечетких чисел хн и
ун определяется соотношением:
(1)
Операции сравнения «≥», «≤» следует из определения [8]: имеем нечеткие числатакие, что тогдаесли :
Совокупность нечетких чисел образует банахово пространство [4].
В теории нечетких множеств помимо общего определения нечеткого числа, которое приведено выше, часто в теоретических исследованиях используются треугольные нечеткие числа [6]. Они имеют функцию принадлежностей «r» в виде треугольника с острыми углами в его основании. Этому соответствует тройка чисел а1<а2<а3, где основание supp r =[а1, а3], а координата высоты (ядро) core r=а2. Для нечеткого числа N(x), х∈R1 с треугольной формой принято обозначение N(x)=(а1/а2/а3). Различают следующие типы N(x): если а1>0, то N(x)>0; если а1≥0, то N(x)≥0; если а3<0, то N(x)<0; если а3≤0, то N(x)≤0.
1.2. Нечеткая функция определяется как отображение , где - совокупность функций принадлежностей . Это отображение параметризуется относительно r и может быть представлено в виде [8]:
По аналогии с (1) для нечеткой функции вводится критерий:
Имеют место следующие утверждения:
¾ нечеткая функция монотонно возрастает (убывает), если для любых и выполняется:
¾ нечеткая функция непрерывна для , если непрерывна;
1.3. Нечеткая производная интеграл [6,8]. Арифметическая операция «сложения» задается в соответствии с принципом обобщения по (1), а операция «вычитания» путем введения «обратного» элемента в соответствующем нечетком векторном пространстве. Предельный переход, который появляется при вычислении нечеткой производной, определяется в смысле сходимости по метрике в нечетком векторном пространстве:
- нечеткая функция дифференцируема, если дифференцируема; производная от нечеткой функции равна
- нечеткая функция интегрируема по Риману, если интегрируема; интеграл от нечеткой функции равен
Приведенные утверждения показывают, что нетрудно сконструировать нечеткие аналоги основных структур классического математического анализа: максимум (минимум) нечеткой функции, нечеткие точки перегиба, нечеткие дифференциалы, касательные и т.д.
ЗАМЕЧАНИЕ [6]. В теории нечетких дифференциальных уравнений введенную выше нечеткую производную принято называть GVD-Goetschel/Voxman derivative. Помимо этой производной существуют другие типы нечетких производных:
¾ производная SD-Seikkala derivative;
¾ производная DPD-Dubois/Prade derivative;
¾ производная PRD-Puri/Ralescu derivative;
¾ производная KFMD-Kandel/Friedman/Ming derivative;
¾ другие более абстрактные производные.
Все эти перечисленные нечеткие производные отличаются между собой используемой метрикой и применяются для разрешения нечеткой начальной задачи, а также для решения простейших нечетких дифференциальных уравнений в частных производных. Взаимосвязь перечисленных нечетких производных следует из следующих утверждений для нечетких производных :
¾ если ;
¾ если ;
¾ если ;
¾ если .
Далее будем использовать . Для простоты обозначений верхний индекс GV будем опускать и соответствующую нечеткую производную будем обозначать .
1.4. Нечеткие случайные величины [7]. Тройка () определяет нечеткое вероятностное пространство, где -пространство элементарных нечетких случайных событий, Вн- борелевская нечеткая алгебра; Рн- вероятностная мера на борелевской нечеткой алгебре. Пространство –совокупность нечетких случайных событий с функцией принадлежностей ri∈[0,1], которые могут появиться в результате нечеткого эксперимента Эн. Здесь wнi – неразложимый нечеткий исход Эн. Нечеткая алгебра , где -нечеткое случайное событие (), Т,S-нормы в Ан, «-» нечеткое отрицание. В нечеткой алгебре Ан операции не фиксируются, а перечисляются лишь их свойства, поэтому существует бесчисленное число нечетких алгебр {Ан}. Задавая операции Т, S, «-» по заде для из {Ан} выделяют «борелевскую» нечеткую алгебру. Отображение Р:А→R1 со свойствами (i) 0≤Р(Анi)≤1; (ii) (iii) . Имеет место совокупность формул нечетких вероятностей.
Нечеткая случайная величина определяется путем отображения
. Функция распределения определяется в виде:Математическое ожидание определяется как:, где -нечеткое случайное событие; -нечеткая вероятность появления Анi. Очевидно, что является нечетким множеством.
В совокупности {} с заданными операциями «сложения» и «умножения» на число «к» [8] вводится метрика Хаусдорфа (х):
Здесь приняты обозначения: - верхняя и нижняя полуметрики Хаусдорфа соответственно;- верхняя и нижняя ветви соответственно уровнего представления функции принадлежностей нечеткого множества - ковариация между и . Непосредственно из определения следует:- дисперсия нечеткой случайной величины , которая является четким числом. Расчеты показывают, что в пространстве имеем : – которое является четким числом.
1.5. Нечеткие линейные системы [5]. Нечеткая система линейных уравнений (nxn) имеет вид:
где матрица (n x n) из четких элементов; -нечеткие переменные ().
Две четкие (n x n) линейные системы для всех «i» называются расширенной (2n x 2n) четкой линейной системой, если:
-;
- .
Другими словами и используя матричное (2n x 2n) обозначение имеем:
,
Теорема 2.4.1. Для существования и единственности решения расширенной системы необходимо и достаточно, чтобы , т.е. -неотрицательная матрица.
Теорема 2.4.2. Для того, чтобы матрица S была не вырождена необходимо и достаточно, чтобы (s1-s2) и (s1+s2) обе матрицы были не вырождены.
Если все компоненты нечеткого вектора являются нечеткими треугольными числами, то решение системы принято называть «сильным». В противном случае после соответствующих замен [5] решение называют «слабым» решением.
2. Нечеткая модель ошибок
Пусть имеем:
Здесь приняты следующие обозначения: – нечеткий вектор измерений; – четкая вектор-функция;-нечеткий вектор параметров; четкий вектор базисных функций; – нечеткие векторы ошибок для Yн, Rн;– нечеткий вектор ошибок; – нечеткая случайная составляющая ошибок; – нечеткая систематическая составляющая ошибок; α – вектор мешающих параметров.
Решение (2) относительно Ан дает вектор нечетких оценок :
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если выполнено:
,
то Ф определяет нечеткий несмещенный алгоритм оценивания. Найдем выражение для компонент нечеткого вектора ошибок . Будем полагать, что вектор α мал относительно α=0. Так как нечеткая систематическая ошибка, поэтому тейлоровское приближение относительно α=0 дает:
откуда:
поэтому:
Аналогично полагая, что зависят от вектора мешающих параметров , который мал относительно , будем иметь в результате тейлоровских приближений:
; (5)
. (6)
Для нечеткого вектора оценок имеем:
Полагаем, что алгоритм оценивания не смещен, поэтому:
Таким образом для нечеткой ошибки получим:
– нечеткий вектор ошибки для (2), (3), где – вектор нечеткой случайной ошибки при измерении (2), – вектор нечеткой ошибки при измерении (2); – нечеткий вектор ошибки в задании F; – нечеткий вектор ошибки в задании G.
Рассмотрим характеристики нечеткого случайного вектора , где E, D – операторы математического ожидания и дисперсии соответственно, – плотность хн. Обычно рассматривают следующие типы моделей:
1. Плотность задана;
2. Плотность неизвестна;
3. Плотность задана;
4. Плотность неизвестна;
При модель 1 обычно рассматривается в традиционной теории вероятностей и математической статистике. Модель 2 при традиционно реализуется в теории четкого робастного оценивания. Модели 3, 4 возникают при модификации известных алгоритмов минимаксного оценивания в их нечеткие аналоги.
Ниже рассматривается простейший алгоритм нечеткого минимаксного оценивания в виде эквивалентного решения задачи четкого линейного программирования.
3. Постановка задачи
Пусть (2) задано в виде простейшей нечеткой линейной модели:
, (7)
где – нечеткий (нижний индекс «н») вектор неизвестных параметров; – заданный четкий вектор базисных функций, вид которых известен; – нечеткая ошибка (помеха).
При имеем:
(8)
где – нечеткий вектор измерений модели процесса (2); – матрица , составленная из базисных функций в моменты времени – нечеткий вектор ошибок измерений.
Простейшие модели (7), (8).
Пример 1. – модель (7);
– модель (8).
Пример 2. – модель (7);
– модель (8).
Пример 3. –модель (7);
– модель (8).
Задача нечеткого робастного оценивания состоит в нахождении четких весовых коэффициентов для нечетких измерений из условия эффективности заданного критерия (3) и несмещенности алгоритма оценивания.
Конкретизируем (3). Для этого в отсутствии систематической ошибки задаем ее в виде линейной зависимости:
где – заданные четкие числа. Для линейного относительно нечетких измерений алгоритма нахождения нечеткой оценки параметра имеем:
где – четкие весовые коэффициенты нечетких измерений . Ищем такой алгоритм оценивания, т.е. , который был бы несмещенным . Это приводит после преобразований к условиям:
, откуда после приравнивания коэффициентов при получим:
. (10)
Задается моделью 4 для ошибок:
, (11)
где – модуль (длина) нечеткой переменной в нечетком вероятностном пространстве; – заданные четкие числа; – нечеткий коэффициент корреляции. Находим max и max . Для этого находим :
Таким образом, для несмещенного алгоритма (10) имеем:
поэтому для математического ожидания Е получим:
откуда:
Для дисперсии D по аналогии имеем:
Элемент дисперсионной матрицы равен:
поэтому с учетом после преобразования получим [3]:
Определим составной критерий :
тогда после подстановки вычисленных ранее max EХн и max DХн получим:
поэтому задача нечеткого минимаксного оценивания имеет вид:
Эта задача относительно является задачей нелинейного программирования и обычно решается численным методом.
В частном случае при имеем:
Ниже будем рассматривать решение (10).
4. Метод решения
Для простоты рассмотрим решение (10) и покажем, что путем соответствующей замены, она может быть преобразована к соответствующей задаче линейного программирования [1]. Совокупность элементов в общем случае может не удовлетворять условию , которое требуется в типовой задаче линейного программирования. Совокупность разбивается на две группы: положительных и отрицательных величин. Для них вводиться замена переменных:
Эти группы переменных дополняются нулями для получения полных строк:
В результате получим векторное соотношение и кроме того, |,. Таким образом (10) преобразуется к виду:
при условии:
1.
2.
3.
В [4] доказано, что условие 3 выполняется всегда, поэтому его можно исключить. После очередных замен получим:
Это приводит к стандартной задаче линейного программирования:
ЗАМЕЧАНИЕ. В (11) рассматривалась модель ошибок, в которой вводилась переменная Из постановки задачи следует, что – нечеткая переменная, а из п.2.4. очевидно, что также является нечеткой переменной, поэтому это расстояние вектора в нечетком векторном пространстве случайных переменных до начала координат в смысле введенной нормы в этом пространстве. Это означает, что | является четким числом, а задача (13) это задача четкого линейного программирования, которая решается стандартными методами, например¸ симплекс-методом.
5. Пример
Пусть в результате решения четкой задачи линейного программирования при N=2 – число измерений и m=2 – число условий несмещенность алгоритма оценивания (10) было получено где – четкие числа с функциями принадлежностей . Тогда нечеткий алгоритм оценивания будет иметь вид:
где – текущие нечеткие числа с треугольными функциями принадлежностей , которые заданы в форме (п.2.1.):
где – основание нечетких чисел; – координаты высот нечетких чисел; .
Найдем функцию принадлежностей оценки . В соответствии с принципом расширения для арифметических операций умножения и сложения нечетких чисел получим [7]:
;
,
откуда
.
Из определения треугольного нечеткого числа следует, что для него должно выполняться неравенство:
(14)
поэтому:
.
В результате простейших преобразований получим:
где
. Например, пусть ; тогда неравенства (15) выполняются, поэтому приведенные соотношения характеризуют нечеткую «сильную» оценку , т.к. при этом справедливо (14).
В противном случае, например, из (15) получим: 1≥2, т.е. неравенство не выполняется. Этому будет соответствовать в (14) или , что противоречит определению треугольного нечеткого числа. После соответствующих замен в (14) или получим или , которые характеризуют нечеткую «слабую» оценку .
Результаты, полученные выше, легко обобщаются на случаи N=3, 4 и т.д. и значительным числом условий несмещенности.
Выводы
1. Разработана нечеткая модель ошибок, которая появляется при измерении выхода объекта, ошибках модельной зависимости и алгоритме оценивания.
2. Сформулирована общая задача по нечеткому минимаксному оцениванию в виде задачи нечеткого нелинейного программирования.
3. В отсутствии информации относительно элементов дисперсионной матрицы в общей модели ошибок производится редукция задачи нечеткого нелинейного программирования к задаче нечеткого линейного программирования.
4. Показано, что для нечеткого вероятностного пространства с метрикой Хаусдорфа, задача нечеткого линейного программирования легко модифицируется в задачу четкого линейного программирования.
5. Рассмотрен простейший пример синтеза «сильного/слабого» нечеткого минимаксного алгоритма оценивания.
Рецензенты:Девеев А.И., д.т.н., профессор, зав. сектором вычислительного Центра Российской Академии наук (ВЦ РАН) им.А.А. Дородницына, г. Москва;
Воронов Е.М., д.т.н., профессор, государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва.
Библиографическая ссылка
Мочалов И.А., Хрисат М.С. НЕЧЕТКОЕ МИНИМАКСНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=16039 (дата обращения: 28.03.2024).