Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

УЧЕТ ПОЛНОЙ МОЩНОСТИ ИСХОДНОЙ СХЕМЫ В МЕТОДЕ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Носов Г.В. 1, 1 Шишка Н.В. 1 Кулешова Е.О. 1
1 ФГБОУ ВПО НИ ТПУ, Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томский политехнический университет, Томск
В данной работе предложен расширенный метод эквивалентного генератора при постоянных и синусоидальных токах, позволяющий определить не только ток и напряжение в нагрузке, но и активную и реактивную мощности в исходной цепи, а также эффективность (КПД) передачи активной энергии от всех источников исходной цепи в нагрузку, что может быть использовано для оптимизации параметров сложных электрических цепей. Расширенный метод эквивалентного генератора дает возможность найти оптимальное сопротивление нагрузки для получения реального значения максимальной эффективности передачи в нагрузку активной энергии. Для обеспечения заданной активной мощности в исходной линейной цепи величина активной составляющей дополнительного сопротивления может принимать при определенных значениях сопротивления нагрузки отрицательные значения, что свидетельствует о том, что дополнительное сопротивление расширенного эквивалентного генератора является математическим приемом для учета реальных физических процессов в электрических цепях.
реактивное сопротивление
активное сопротивление
реактивная мощность
активная мощность
ток короткого замыкания
напряжение холостого хода
активный двухполюсник
Метод эквивалентного генератора
1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – 11-е изд., испр. и доп. – М.: Гардарики, 2007. – 701 с.: ил.
2. Васильева О. В., Исаев Ю. Н. Применение энергетического подхода для исследования синтеза электрических цепей // Россия молодая: передовые технологии – в промышленность: Матер. II Всеросс. молодежной научно-техн. конф. – Омск, 21–22 апреля 2009. – Омск: ОмГТУ, 2009. – С. 20–23.
3. Демирчян К. С., Нейман Л. Р., Коровкин Н. В. Теоретические основы электротехники. – 5-е изд. – СПб.: Питер, 2009. – Т. 1. – 2009. – 512 с.: ил.
4. Дьяконов В. П. Mathcad 8/2000: Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2000. – 592 с.
5. Основы теории цепей / Г. В. Зевеке [и др.]. – 5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.
Введение

При постоянных и синусоидальных токах и напряжениях для определения в нагрузке линейной исходной цепи комплекса действующего значения тока f часто применяется метод эквивалентного генератора [1-2, 5], когда вся внешняя к нагрузке цепь как активный двухполюсник заменяется одним эквивалентным генератором с комплексом действующего значения ЭДС f и комплексным внутренним сопротивлением f, где f - комплексное сопротивление нагрузки; f - комплекс действующего значения напряжения нагрузки.

В результате ток в нагрузке рассчитывается так

f,                       (1)

причем ЭДС f равна напряжению холостого хода g при g и f, а сопротивление f эквивалентного генератора находится с учетом тока короткого замыкания f при f и f:

f.                                 (2)

Однако метод эквивалентного генератора не позволяет определять суммарные с учетом нагрузки значения активной P и реактивной Q мощностей в исходной цепи, которые могут потребоваться, например, для определения оптимального значения сопротивления f, обеспечивающего максимальную эффективность передачи f в нагрузку активной энергии:

f,                                 (3)

где f - действующее значение тока нагрузки; f - активная мощность нагрузки.

Наряду с этим существуют методы, основанные на энергетическом подходе, когда сохраняется мощность, но не сохраняется ток [2].

Таким образом, актуальность расширения возможностей метода эквивалентного генератора с целью определения мощностей в исходной цепи не вызывает сомнений.

Описание метода

Рассмотрим вначале расширенный метод эквивалентного генератора при постоянных напряжениях и токах.

На рис. 1 представлена схема замены активного двухполюсника расширенным эквивалентным генератором с ЭДС EГ, сопротивлением RГ, источником тока генератора JГ и дополнительным сопротивлением R0. Предположим, что в исходной схеме известны для режимов:

  • холостого хода (IН=0, RН=∞) напряжение в нагрузке UH=UХХ и вырабатываемая мощность PХХ;
  • короткого замыкания (UH=0, RН=0) ток в нагрузке IH=IКЗ и вырабатываемая мощность PКЗ.

pic 

Рис. 1. Схема расширенного эквивалентного генератора

В режиме холостого хода (рис. 1) UХХ и PХХ равны:

f,                            (4)

f.                           (5)

Из режима короткого замыкания очевидно, что:

f,                  (6)

f.                   (7)

Определим параметры расширенного эквивалентного генератора f, f и R0. При этом сопротивление генератора RГ определяем общепринятым способом [1-2, 5]:

f,                             (8)

тогда уравнения (4) и (6) объединяются. Таким образом, вместо системы из четырех уравнений необходимо решить систему из трех уравнений (4), (5) и (7).

Из уравнения (4) выразим EГ, а из уравнения (5) выразим дополнительное сопротивление R0:

g,                                              (9)

g.                                                     (10)

Подставим полученные выражения (9) и (10) в уравнение (7):

g.                                               (11)

Из уравнения (11) выразим ток генератора JГ:

f,                          (12)

Подставим полученное выражение в (9) и определим EГ:

f  .                                   (13)

После определения параметров генератора переходим к определению тока в нагрузке IН и мощности РН. Записав уравнение по второму закону Кирхгофа для контура с участием тока нагрузки и используя выражение (4) или (9) с учетом (8), легко доказать, что ток в нагрузке определяется по формуле (14):

f  .                                    (14)

Суммарная мощность в схеме расширенного эквивалентного генератора будет равна:

f  ,                              (15)

где f (рис. 1).

Для иллюстрации работы метода рассмотрим схему, приведенную на рисунке 2, а. Преобразуем ее к схеме расширенного эквивалентного генератора (рис. 1).

pic

а                                                б

Рис. 2. Схема замещения цепи с параметрами: а)  E1=150 В, E2=200 B, E3=150 B, J=1 A, R1=70 Ом, R2=20 Ом, R3=40 Ом, R4=10 Ом; б) f (В); f (В); d (В); f (А); g (Ом); f (Ом); f (Ом); f (Ом)

По формулам (8), (10), (12) и (13) определяем параметры расширенного эквивалентного генератора: RГ=26,92 Ом; R0=561,211 Ом, JГ=-0,771 А и EГ=169,231 В. Используя найденные параметры генератора, определяем ток в нагрузке и потребляемую мощность по формулам (14) и (15). Для сравнения определим вырабатываемую мощность P1 и ток в нагрузке I1=IН1 в исходной схеме, изменяя сопротивление нагрузки RН от 0 до ∞ и вырабатываемую мощность P2 и ток в нагрузке I2=IН в схеме расширенного эквивалентного генератора (рис. 3).

Ток в нагрузке, определенный в исходной схеме и методом расширенного эквивалентного генератора, совпал (рис. 4, а). Вырабатываемая мощность и КПД, определенные в исходной схеме, совпали с расчетами по методу расширенного эквивалентного генератора и не совпали с расчетами по методу эквивалентного генератора (рис. 3).

 pic

Рис. 3. Графики зависимостей мощностей от IН: P1 - вырабатываемой в исходной схеме, P2 - вырабатываемой в схеме эквивалентного генератора, P3 - вырабатываемой в схеме расширенного эквивалентного генератора, РН - мощность, потребляемая в нагрузке

pic

Рис. 4. Графики зависимости: а) тока в нагрузке от RН: I1 - в исходной схеме, I2 - в схеме расширенного эквивалентного генератора, б) КПД от IН: η1 - в исходной схеме, η2 - в схеме эквивалентного генератора, η3 - в схеме расширенного эквивалентного генератора

Рассмотрим работу расширенного метода эквивалентного генератора при гармонических напряжениях и токах.

Введем в схему эквивалентного генератора (рис. 5) дополнительное комплексное сопротивление f, которое совместно с сопротивлениями f и f будет задавать мощности P и Q исходной цепи (рис. 5), причем величины f и f сохраняют свои значения.

pic 

Рис. 5. Комплексная схема замещения расширенного эквивалентного генератора

В результате ток будет рассчитываться согласно (1), а сопротивление g найдем из баланса активной P и реактивной мощности Q в схеме рис. 5:

f ; f,                   (16)

где f - действующее значение напряжения холостого хода.

С учетом (1) действующее значение тока нагрузки составит

f   ,                                           (17)

тогда на основании формул (16) и (17) получаем расчетный параметр

f   ,                            (18)

реактивную составляющую дополнительного сопротивления

fg,                     (19)

активную составляющую дополнительного сопротивления

f   .                               (20)

В формулах (18-20) мощности P и Q являются суммарными мощностями в исходной цепи при конкретном значении сопротивления нагрузки f. Очевидно, что при изменении сопротивления f будут меняться мощности P, Q и параметры дополнительного сопротивления λ, g, g. Поэтому из режимов холостого хода и короткого замыкания находим расчетом или экспериментально значения напряжения холостого хода d и тока короткого замыкания g, по формуле (2) вычисляем сопротивление f. При заданном режиме изменения нагрузки для нескольких значений сопротивления f рассчитываем или определяем экспериментально соответствующие значения мощностей P и Q, а затем вычисляем по формулам (18-20) параметры λ, RД, XД. Далее можно проводить исследования в схеме расширенного эквивалентного генератора (рис.4, б) с целью нахождения тока (1), мощностей P, Q и эффективности (3). Рассчитанные составляющие дополнительного сопротивления RД и XД могут задаваться графически или приближенными аналитическими зависимостями.

Для иллюстрации применения расширенного метода эквивалентного генератора в качестве примера рассмотрим линейную исходную цепь, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 2, б.

Из режимов холостого хода (f ) и короткого замыкания (f ) определяем: f (В); f (В); f (А); f (Ом). Для заданных значений сопротивления нагрузки g в табл. 1 и на рис. 6 приведены полученные по формулам (1-3, 16-20) с использованием  системы Mathcad [4] результаты расчета параметров расширенного эквивалентного генератора.

Таблица 1. Параметры расширенного эквивалентного генератора

g

g

g

f

P

Q

λ

RД

XД

Ом

Ом

А

В

Вт

вар

-

Ом

Ом

0

965,71

3730

-2316

-1,61

180,46

-112,11

f=500-j100

ZH1=509

1,33

677,92

3574

-730,96

-7,75

388,17

-50,07

f400-j50

ZH2=403

1,57

632,36

3582

-434,14

59,42

435,17

7,32

g300

ZH3=300

1,91

573,33

3613

-5,18

3,61

470,33

130,28

g200+j50

ZH4=206

2,44

502,92

3707

663,42

1,17

381,87

325,36

f100+j100

ZH5=141

3,35

473,88

4002

1822

0,35

127,42

363,75

0

0

4,15

0

1979

1966

-0,28

-54,24

197,44

pic 

Рис. 6. Зависимость эффективности передачи в нагрузку активной энергии η от действующего значения тока нагрузки f 

Точки пересечения нелинейной внешней характеристики эквивалентного генератора g с линейными зависимостями f позволяют найти действующие значения напряжения f и тока g нагрузки с фиксированным модулем сопротивления g. Таким образом, для исследованной исходной цепи максимальная эффективность передачи активной энергии в нагрузку g достигается при действующем значении тока h (А). Этот ток будет при оптимальном сопротивлении нагрузки равном f (Ом), которое отличается от сопряженного значения сопротивления h, т. е. f (Ом), когда наблюдается максимум активной мощности нагрузки f [2]. Следует отметить, что во многих учебниках, например, в [2], считают, что при максимуме активной мощности нагрузки эффективность (КПД) передачи активной энергии в нагрузку составляет f. Это утверждение неверно для исходной сложной цепи и справедливо лишь для одноконтурной схемы, состоящей из ЭДС источника f и сопротивлений f, f.

Выводы

В данной работе предложен расширенный метод эквивалентного генератора при постоянных и синусоидальных токах, позволяющий определить не только ток и напряжение в нагрузке, но и активную и реактивную мощности в исходной цепи, а также эффективность (КПД) передачи активной энергии от всех источников исходной цепи в нагрузку, что может быть использовано для оптимизации параметров сложных электрических цепей.

Расширенный метод эквивалентного генератора дает возможность найти оптимальное комплексное сопротивление нагрузки для получения реального значения максимальной эффективности передачи в нагрузку активной энергии.

Для обеспечения заданной активной мощности в исходной линейной цепи величина активной составляющей дополнительного сопротивления может принимать при определенных значениях сопротивления нагрузки отрицательные значения, что свидетельствует о том, что дополнительное сопротивление расширенного эквивалентного генератора является математическим приемом для учета реальных физических процессов в электрических цепях.

Рецензенты:

Усов Юрий Петрович, д.т.н., профессор каф. ЭСиЭ ЭНИН ФГБОУ ВПО НИ ТПУ, Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г. Томск.

Федор Юрьевич Канев, д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник института оптики атмосферы им. В. Е. Зуева СО РАН, г. Томск.


Библиографическая ссылка

Носов Г.В., Носов Г.В., Шишка Н.В., Кулешова Е.О. УЧЕТ ПОЛНОЙ МОЩНОСТИ ИСХОДНОЙ СХЕМЫ В МЕТОДЕ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА // Современные проблемы науки и образования. – 2012. – № 3.;
URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=6487 (дата обращения: 24.09.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074