(1)
(2)
где — фиксированная точка интервала .
Эта задача в более общей постановке изучалась в работе , где были установлены необходимые и достаточные условия ее разрешимости и был разработан численный метод нахождения ее приближенного решения. Из полученной равномерной оценки погрешности этого решения следует его сходимость к точному решению (1)-(2) со скоростью O(h2), где h – шаг равномерной сетки, на которой строится соответствующая конечно-разностная схема. Когда принимает положительные значения, может наблюдаться неустойчивость решения дифференциальной задачи (1), (2). Например, это происходит при и, принимающих близкие значения на отрезке . При условии погрешность приближенного решения оказывается величиной порядка , где.
Перейдем к изложению численного метода, который при определенных условиях гладкости на коэффициенты уравнения обеспечивает более высокий порядок точности решения.
Введем в рассмотрение функции и , как решения дифференциальных задач
(3)
, (4)
соответственно и приведем формулировки теорем, в которых даются необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости задачи (1), (2).
Теорема 1. Пусть , и выполнено условие
. (5)
Тогда задача (1), (2) однозначно разрешима, и ее решение представляется в виде . (6)
Теорема 2. Пусть , и функция такова, что для всех
. (7)
Тогда решение задачи (1), (2) существует, единственно и принадлежит классу .
Эти теоремы доказаны в работах, . В дальнейшем будем считать, что выполнены условия В:, .
Имеет место
Теорема 3. Если удовлетворяют условию В и выполнено (5), то решение задачи (1), (2) принадлежит классу .
Доказательство этой теоремы следует из однозначной разрешимости задач (3) и (4) в классе при выполнении условий (В), и представления решения в виде (6).
Для численного решения задачи (1),(2) на отрезке введем равномерную сетку , где шаг сетки выберем меньше половины меньшего из отрезков . Номер выберем из условия . Для сеточной функции введем обозначение и дифференциальную задачу (3) аппроксимируем конечно-разностной схемой,
, (8)
,
,
где
,
а дифференциальную задачу (4) — конечно-разностной схемой
, (9)
,
,
где .
С помощью разложений по формуле Тейлора нетрудно показать, что конечно-разностные схемы (8) и (9) аппроксимируют задачи (3) и (4) соответственно, с точностью .
Теперь получим аппроксимацию порядка значения . С этой целью через точки,, и проведем интерполяционный полином Лагранжа третьей степени :
, (10)
где коэффициенты Лагранжа вычисляются по формулам:
, ,
, . (11)
Величину примем за приближенное значение и оценим погрешность такой аппроксимации. Для этого проведем интерполяционный полином Лагранжа через точки ,, и . Он имеет вид:
, (12)
где коэффициенты Лагранжа вычисляются по формулам (11). Так как функция имеет четвертую производную на отрезке , то, воспользовавшись, известной оценкой погрешности формулы Лагранжа , получаем оценку:
. (13) Так как , то разность является величиной . Следовательно, найдется положительная постоянная такая, что: . (14) По аналогии с аппроксимацией , значение аппроксимируем величиной , равной значению в точке интерполяционного полинома Лагранжа, проведенного через точки ,, и , т.е. . (15)
Очевидно, найдется положительная постоянная , такая, что:
. (16)
В качестве приближенного решения задачи (1), (2) выберем сеточную функцию
, . (17)
Имеет место
Теорема 4. Пусть выполнены условия В и (5). Тогда сеточная функция , определенная по формуле (17), сходится при к решению задачи (1), (2) со скоростью в равномерной метрике.
Доказательство. Пользуясь представлением (6) точного решения , получаем оценку погрешности в равномерной метрике:
. (18)
Оценим слагаемые в правой части (18). Поскольку конечно-разностные схемы (8) и (9) сходятся к решениям дифференциальных задач (3) и (4) с порядком соответственно, то найдутся положительные постоянные и не зависящие от , что:
, . (19)
Условие означает, что либо , либо . Введем обозначение . Оценим теперь снизу . Из (14) следует, что при имеет место оценка , откуда получаем:
. (20)
Пусть . Воспользовавшись оценкой , полученной в , из левой части (20) получаем: .
Пусть . Так как в этом случае , то из правой части (20) следует оценка . Таким образом, найдется , что при имеет место оценка:
. (21)
Решение задачи (3) и решение задачи (9) оцениваются соответственно в виде:
, . (22)
Применяя оценки (15), (16), (19), (21), (22) из (18), получаем:
, (23)
где .
Из (23) следует утверждение теоремы 4.
При может наблюдаться неустойчивость решения задачи (1), (2). В частности, если близко к во всех точках настолько, что , где , то предложенный алгоритм позволяет вычислить решение задачи (1), (2) с точностью .
Рецензенты:Шхануков-Лафишев М.Х, д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик.
Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.