(1)
(2) (3)
где - фиксированная точка интервала , и - положительные числа. Коэффициент в уравнении (1) предполагается отличным от нуля хотя бы в одной точке отрезка .
Пусть и - решения дифференциальных задач
(4)
, (5)
соответственно. Приведём формулировки теорем, в которых даются необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости задачи (1)-(3).
Теорема 1. Пусть , и выполнено условие
. (6)
Тогда задача (1)-(3) однозначно разрешима в классе , и её решение представимо
в виде
. (7)
Теорема 2. Пусть , и функция такова, что для всех выполнено условие
. (8)
Тогда решение задачи (1)-(3) существует, единственно и принадлежит классу .
Эти теоремы доказаны в работах , . В дальнейшем будем считать, что выполнены условия В: , .
Имеет место
Теорема 3. Если удовлетворяют условию В и выполнено (8), то решение задачи (1)-(3) принадлежит классу .
Доказательство этой теоремы следует из однозначной разрешимости задач (4) и (5) в классе при выполнении условий В, и представления решения в виде (7).
Введём на отрезке равномерную сетку . Шаг сетки выберем меньше половины меньшего из отрезков . Номер выберем из условия . Используем для сеточной функции , определённой на , обозначение :. Дифференциальную задачу (4) аппроксимируем конечно-разностной схемой
, (9)
,
,
где ,
а дифференциальную задачу (5) - конечно-разностной схемой
, (10)
,
,
где .
Конечно-разностные схемы (9) и (10) аппроксимируют задачи (4) и (5) соответственно, с точностью , что не трудно показать с помощью разложений по формуле Тейлора.
Пусть
, (11)
полином Лагранжа третьей степени, проведённый через точки,,, . Коэффициенты Лагранжа вычисляются по формулам:
, ,
, . (12)
Введём обозначение и покажем, что аппроксимирует значение с точностью . В силу равенств , и ограниченности коэффициентов Лагранжа, . Поскольку полином аппроксимирует функцию на отрезке с точностью , что следует из известной оценки погрешности полинома Лагранжа , то найдётся положительная постоянная , не зависящая от , что
. (13)
Аналогично, аппроксимируются величиной с точностью , следовательно, найдётся постоянная , что
. (14)
В качестве приближённого решения задачи (1)-(3) выберем сеточную функцию :
, . (15)
Имеет место
Теорема 4. Пусть выполнены условия В и (8). Тогда сеточная функция , определённая по формуле (15), сходится при к решению задачи (1)-(3) со скоростью в равномерной метрике.
Доказательство. Используя представление (7) решения задачи (1)-(3), получим оценку погрешности в равномерной метрике:
. (16)
Оценим слагаемые в правой части (16). Сначала оценим . Отметим, что в силу принципа максимума разностной краевой задачи третьего рода , решения задачи (10) положительны. Перепишем уравнение (10) в виде
. (17)
Пусть положительный максимум функции достигается в точке , т.е. , где . Тогда, в силу , , из (17) получаем оценку
.
Если , то из левого краевого условия (10)
следует оценка:
.
Если , то из правого краевого условия (10) следует оценка:
.
Таким образом, для решения задачи (10) имеет место оценка:
. (18)
С учётом аппроксимации порядка разностной схемы (10) на решении задачи (4), найдётся положительная постоянная , что . (19)
Также найдется положительная постоянная ,что
. (20)
Введём обозначение . Если выполнено условие (8), то, как следует из принципа максимума третьей краевой задачи для оператора Штурма-Лиувилля , , при этом имеет место оценка
. (21)
Получим нижнюю оценку выражения . Пусть - шаг сетки, что . Тогда при оценка (13) принимает вид , откуда следует:
. (22)
Применяя оценки (13), (14), (18)-(22) из (16) получаем:
. (23)
Из оценки (23) следует утверждение теоремы 4.
Рецензенты:
Шхануков-Лафишев М.Х. д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН, г. Нальчик;
Ашабоков Б.А,, д.ф.-м.н., профессор, Высокогорный Геофизический Институт, г. Нальчик.