Наряду с классическим представлением управляемых систем массового обслуживания [3,4], модели СМО могут быть описаны в терминах точечных процессов [2], при которых поведение СМО описывается некоторым случайным процессом, а наличие управляемых воздействий приводит к изменению его траекторий.
В настоящей работе рассматривается оптимальное управление интенсивностью входящего пуассоновского потока заявок многоканальной СМО с роутером при эпизодически наблюдаемой длине очереди на приборах. Рассматриваются две модели СМО: в первой эпизодический процесс длины очереди строится по наблюдениям в моменты остановки ; вторая модель строится аналогично первой, но с введенным процессом телеграфного типа.
Задача нахождения оптимального управления интенсивностью входящего потока двух моделей СМО решается путем нахождения экстремума функционала, зависящего от средней длины очереди на приборах, цены наблюдения и времени моделирования. Решение задачи оптимального управления представлено методами имитационного стохастического моделирования, включающими формальное представление модели, её алгоритмизация, численное нахождение экстремума функционалов, сравнение результатов.
Математическая модель
Рассмотрим систему массового обслуживания с двумя обслуживающими устройствами с входящим пуассоновским потоком и моделью роутера (4.2) (детальное описание см. [1]). Введем процессы ,. Значения данных процессов соответствуют значениям соответственно, в моменты остановок , , где . Обозначим как неубывающее непрерывное справа семейство - алгебр . Тогда процесс для первого обслуживающего устройства принимает вид:
(1)
Соответственно, для второго обслуживающего устройства процесс записывается как
(2)
Где .
Процессы , характеризуют значения очереди в моменты остановок, т.е. фактическое значение длины очереди на приборе определяется лишь после того, как заявка была распределена в соответствующую очередь в момент времени . Задача заключается в нахождении оптимальной интенсивности наблюдений в модели с двумя обслуживающими устройствами и роутером.
Запишем функционал системы:
(3)
Умножив правую часть на , получим функцию
(3’)
Где заданная константа – цена наблюдения, - время моделирования.
Модель (1), (2) с функционалами (3), (3’) можно интерпретировать следующим образом.
Предположим, что на -ом обслуживающем устройстве определение длины очереди происходит только при отправке роутером на соответствующий прибор. Тогда при достигается наилучшая аппроксимация по наблюдениям ,.[7] Однако, при второе слагаемое уравнения (3) . В то же время, при , .
Таким образом, оптимизационная задача заключается в нахождении такого параметра системы, при котором значение функционала (3) было бы наименьшим.
(4)
Рассмотрим аналогичную модель СМО за исключением того, что в момент остановки (т.е. прихода заявки на распределительное устройство) у нас есть возможность определить значение очереди только на одном обслуживающем устройстве. Введем процесс телеграфного типа , тогда значение процессов , будет определено следующим образом:
(5)
Эксперимент, результаты моделирования
Построим для моделей (2-3), (5) при фиксированном значении график функционала (3) в зависимости от с шагом . Для каждой точки , где рассчитаем значение функционала .
График , , , , , ,
Заключение
Целью настоящей работы являлось построение задачи и нахождение оптимального управления интенсивностью входящего потока многоканальной СМО с роутером при эпизодически наблюдаемой длине очереди на приборах и сравнение экстремумов двух моделей (2-3) и (5). Численное решение функционала (3) для моделей (2-3), (5) продемонстрировано на рисунке. Согласно графику, при заданных параметрах , для модели (5), для модели (2-3) , при которых значение ,соответственно. Модель (5) эффективнее модели (2-3), т.е. при выполнено . Таким образом, представленная имитационная модель позволяет находить оптимальную интенсивность наблюдений в задаче распределения заявок роутером в системе из двух обслуживающих подсистем.
Рецензенты:
Мищенко С.П., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск;
Андреев А.С., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск.