Стабилизация неустойчивой и хаотической динамики является важной частью общей задачи управления динамическими системами. Значительное продвижение в этой области связано с результатами, полученными в интенсивно развивающейся области – управлении хаосом [1-4].
В настоящей работе возможности оптимальной параметрической коррекции изучены на семействе диссипативных неавтономных систем, описываемых дифференциальным уравнением вида:
, (1)
где – потенциал, определяющий собственную динамику системы, – гармоническое параметрическое возмущение амплитуды и частоты , – диссипация. Система (1) описывает параметрически возбуждаемый диссипативный колебательный контур. Вариативность модели связана с видом потенциала, а также показателем степени переменной в .
Рассмотрим случай , тогда (1) примет вид:
, (2)
где – собственная частота колебаний системы без параметрического возмущения. При выполнении условий резонанса , где – порядок резонанса, возникает параметрическая неустойчивость, приводящая к экспоненциальному нарастанию амплитуды колебаний. Линейное затухание не стабилизирует параметрическую неустойчивость. Полагая в (2) , приходим к известному в теории параметрических колебаний уравнению Матье [2]:
. (3)
На рис. 1(а),(b) для случая основного параметрического резонанса представлено развитие неустойчивого динамического режима системы (3). Видно, что колебания неограниченно нарастают.
Положим и введем в (3) корректирующую функцию :
. (4)
Функция играет роль управления. Введем фазовое ограничение в виде круга
(5)
и построим штрафную функцию за его нарушение, где – штрафной параметр.
Задача оптимального управления имеет вид: требуется удержать систему (4) внутри допустимого множества (5) с наименьшими затратами энергии
Составим функцию Гамильтона:
,
где , – сопряжённые переменные. Из необходимого условия оптимальности найдем оптимальную корректирующую функцию:
. (6)
Оптимальная траектория находится интегрированием следующей системы уравнений и подбором :
где – вектор начальных условий для сопряжённой системы, ортогональный вектору .
Рисунок 1. Коррекция уравнения Матье (3), , , :
(a), (b) – неустойчивый режим до коррекции,
(c),(d) – фазовая плоскость режима коррекции,
(e) – график оптимальной корректирующей функции.
На рис. 1(с),(d) представлены результаты численного моделирования уравнения (3) в условиях основного параметрического резонанса. Они получены с фазовым ограничением (5) при , и параметром штрафа . Оптимальная параметрическая коррекция позволила стабилизировать неустойчивую систему в состоянии равновесия. При соответствующих значениях стабилизация имеет место для начальных условий, лежащих внутри допустимого множества. Результаты аналогичны и при соотношении частот .
График корректирующей функции на рис. 1(e) позволяет увидеть особенности коррекции. Вначале фазовая траектория системы находилась внутри фазового ограничения (несколько обходов вокруг начала координат). При этом . Всплеск корректирующего воздействия обусловлен тем, что параметрическая неустойчивость начала выталкивать траекторию за область круга. В результате включился алгоритм учета фазовых ограничений, и система стабилизировалась в нуле.
Рассматривалась также общая скорректированная система вида
. (7)
На рис. 2 представлен результат общей коррекции с фазовым ограничением в виде единичного круга и параметром штрафа .
Рисунок 2. Общая параметрическая коррекция параметрически возмущенного уравнения Матье (7), , , :
(a) – зависимость координаты от времени,
(b) – фазовая плоскость режима коррекции,
(с) – оптимальная корректирующая функция.
Полученная корректирующая функция имеет вид:
. (8)
Существенное отличие аналитического выражения (8) от (6) в том, что зависит как от текущего состояния системы, так и от величины возмущения . Оптимальная коррекция приводит к подавлению неустойчивой динамики и переходу в режим модулированных колебаний. Для соотношения частот результаты оказались аналогичными.
Возможности метода параметрической коррекции были также апробированы на различных системах, способных демонстрировать неустойчивые и хаотические режимы (нелинейные осцилляторы, уравнение Ван дер Поля и его модификации и др.). Коррекции подвергалась динамика как исходных (автономных) систем, так и систем в присутствии периодического внешнего воздействия. При этом рассматривались варианты хаотизации внешним силовым и параметрическим возмущением. Исследованию также подверглись трехмерные системы Лоренца, Ресслера, Чуа и др., которым при соответствующих значениях параметров свойственно наличие хаотического аттрактора.
Несомненным достоинством предложенного метода является возможность аналитически получить оптимальные корректирующие функции и корректировать поведение объекта в случае возникновения неустойчивого или хаотического поведения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. //Автоматика и телемеханика. 2003. №5. С.3-45.
2. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. – М.: Изд-во физ.-мат. лит, 2002. 292 с.
3. Лоскутов А.Ю. //Вестник МГУ. 2001. №2. С.3-21.
4. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: Принципы и примеры. – СПб.: Наука, 2003. 208с.
** Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ.