Среди систем поддержки принятия управленческих решений особое место занимают системы, позволяющие осуществлять динамическое моделирование процессов.

В представленной работе рассматривается динамическая модель, в которой денежные ресурсы и финансовые потоки ресурсов в единицу времени являются скалярными векторами на входе и выходе операторных звеньев [4, 5]. Одним из результатов, полученных на основе данной модели, является уравнение динамики роста капитала (1):

, (1)

где – текущий капитал организации, – начальный капитал организации, – время оборачиваемости капитала организации, – коэффициент передачи, равный доле прибыли, направляемой на накопление капитала организации, – маржинальная рентабельность.

Согласно уравнению (1) капитал во временных точках после замены экспоненты первыми двумя членами разложения в ряд Маклорена может быть вычислен по формуле

. (2)

Коэффициент прироста для капитала, вычисляемого по формуле (2), равен

. (3)

С экономической точки зрения логично принять гипотезу о том, что доля капитализируемой прибыли уменьшается пропорционально росту капитала, имея некоторый потолок роста , т.е.

. (4)

Подставив (4) в правую часть (3), имеем

. (5)

Введем новую переменную , тогда уравнение (5) можно записать в следующем виде:

. (6)

Уравнение (6) идентично уравнению Ферхюльста [2].

Следовательно, динамика роста относительной величины капитала будет аналогична динамике численности популяции, описанной дискретной моделью Ферхюльста.

Запишем дискретный аналог модели Ферхюльста

. (7)

Для стационарного параметра логично, произведя в (7) замену переменной , получить более удобное для исследования уравнение

, (8)

где - отношение численности популяции к ее максимально возможному значению в периоде n, [3].

Стоит отметить, что для поставленной в данной работе задачи исследования динамики изменения капитала согласно модели (7) в условиях неопределенности, т.е. при стохастическом изменении параметра , а, следовательно, и параметра , вышерассмотренная замена переменных недопустима.

Возможность появления отрицательного значения переменной является существенным недостатком модели (6). Отрицательные значения являются следствием слишком большого значения величины капитала в предыдущем периоде (больше величины ), или слишком высокого коэффициента маржинальной рентабельности и начальном значении капитала около . Однако, при и при величина капитала не может превзойти (а, соответственно, и оказаться отрицательной) ни при каких , и модель (6) оказывается корректной.

При разных значениях параметра p наблюдаются существенно различные режимы динамики.

Характер динамики роста капитала будет зависеть от величины маржинальной рентабельно­сти воспроизводственного процесса, так же как и динамика роста численности популяции от своего репродуктивного потенциала. По существу маржинальная рентабельность является параметром роста для капитала в экономике. В зависимости от ее величины нелинейная динамика капитала будет пре­терпевать последовательно все качественные изменения, свойственные процессу для нелиней­ной динамики Ферхюльста. Поэтому естественно возникает задача исследования характера динамики при учете возможности изменчивости данного параметра. Постановка такой задачи в биологии уже встречалась в некоторых исследованиях. Например, получена оценка вероятности экстремального скачка в зависимости от характеристик случайных возмущений параметра, рассматривалась задача оптимизации промысла в модели динамики численности популяции с циклически меняющимся параметром [1].

В данной работе исследуется динамика роста капитала, описываемая уравнением (6), где параметр - случайная величина, плотность распределения которой:

где .

Анализ имитации модели, проводимой в среде Delphi, позволяет сделать определенные выводы об особенностях динамики роста капитала и стратегиях регулирования этого процесса в условиях неопределенности.

Бифуркационные диаграммы, построенные для различных начальных значений и дисперсии капитала, иллюстрируют следующие результаты:

– в области устойчивости нетривиальной стационарной точки модели (6) , т.е. при с течением времени значение капитала стремится к , не зависимо от начального значения и дисперсии параметра,

– при значения капитала в стохастическом режиме, не зависимо от начального состояния, распределены вблизи значений капитала стационарного режима, повторяя форму и особенности бифуркационной диаграммы модели Ферхюльста с постоянным параметром.

График зависимости дисперсии капитала от среднего значения рентабельности при постоянной дисперсии , свидетельствует о существенном влиянии начального капитала на рост дисперсии при значении близком к стационарной тривиальной точке модели Ферхюльста. Резкое увеличение скорости возрастания дисперсии, независимо от начального капитала, наблюдается при близком к 2 - точке бифуркации модели Ферхюльста, которая характеризуется появлением цикла длины 2.

Линия тренда зависимости среднего значения капитала за n периодов от средней рентабельности при постоянной дисперсии параметра демонстрирует возрастающую тенденцию в области устойчивости нетривиальной неподвижной точки уравнения Ферхюльста с постоянным параметром (т.е. при ), а при наблюдается процесс убывания среднего значения капитала с достаточно высокой скоростью.

Проведены исследования характера изменения величины капитала при наличии воздействия. Пользователем модели (лицом, принимающим решение) можно считать, например, крупных собственников или органы государственной власти. Модель роста капитала с учетом регулирования может быть использована при принятии решения по переброске капитала из одной сферы деятельности в другую.

Учитывая влияние воздействия, связь между величиной капитала в смежных периодах описывается уравнением

. (9)

Рассматриваются два типа оптимизационных задач. К первому типу относится задача реализации оптимальной стратегии эксплуатации. Такая стратегия предусматривает изъятие избыточного над некоторым фиксированным числом количества капитала, когда величина текущего капитала больше этого числа, и отказе от изъятия в противном случае.

Величина изъятия в этом случае для равна

Задача оптимизации состоит в определении такого , при котором достигается максимум предела .

Ко второму типу относится задача оптимизации изъятия капитала с величиной изъятия, пропорциональной текущему значению капитала, т.е. , причем доля изъятия может быть постоянна или переменна.

Для модели Ферхюльста имеем соответственно

. (10)

Задача оптимизации состоит в поиске такого , при котором достигается максимум предела .

Для равновесного режима () формула (10) примет вид

 (11)

или

. (12)

Очевидно, что величина изъятия для первого типа задачи оптимизации при равновесном режиме с ненулевым изъятием рассчитывается по формуле (12).

Максимальное значение функции (12), равное, достигается, когда равновесное значение капитала .

Оптимальная доля изъятия вычисляется по формуле .

Функция является возрастающей, ее максимум на отрезке достигается в точке , .

Оптимальное значение капитала для модели с неслучайным параметром является устойчивым. Действительно, используя теорему Лагранжа при изучении поведения последовательность отклонений от положения равновесия при достаточно малом , получим .

Вычислим . . Отсюда . Так как , то в силу непрерывности существует окрестность точки , для которой . При достаточно малых отклонениях от положения равновесия и соответственно лежат в этой окрестности, поэтому . Следовательно , и оптимальное значение капитала устойчиво.

Бифуркационные диаграммы для модели роста капитала с оптимальным для случайного параметра изъятием иллюстрируют уменьшение разброса значений величины капитала при оптимальном воздействии по сравнению с величиной капитала без изъятия. Кроме того, с ростом не наблюдается роста дисперсии капитала, как это было при отсутствии воздействия или при неоптимальном воздействии.

С увеличением дисперсии маржинальной рентабельности происходит уменьшение оптимальной доли изъятия и величины изъятия. Изучая зависимости средней величины изъятия и среднего значения величины капитала от изымаемой доли, можно предположить, что увеличение дисперсии параметра приводит к необходимости уменьшать долю изъятия относительно оптимальной доли , соответствующей детерминированной модели. Осуществление воздействия без учета стохастического характера параметра с постоянной долей изъятия, оптимальной для соответствующего параметра детерминированной модели, приводит к риску не только снижения величины изъятия, но и к обнулению капитала при достаточно больших значениях дисперсии параметра.

Сравнительный анализ средних величин изъятия при оптимальной стратегии (стратегия 2) и стратегии с постоянной долей изъятия (стратегия 1) позволяет сделать вывод об уменьшении средней величины изъятия для обеих стратегий с ростом дисперсии параметра. Кроме того, с увеличением дисперсии параметра наблюдается увеличение разницы между величинами изъятия для стратегии 1 и стратегии 2. С увеличением математического ожидания параметра эта разница уменьшается, т.е. величина изъятия при обеих стратегиях управления с ростом математического ожидания параметра стремится к оптимальной величине изъятия, соответствующей модели с постоянным параметром, равного математическому ожиданию случайной величины .

Заключение

В данной работе произведена численная реализация модели Ферхюльста со случайным параметром , характеризующим потенциальную скорость роста капитала и подчиненным равномерному закону распределения. На основании результатов численного эксперимента на ЭВМ получены некоторые закономерности изменения математического ожидания и дисперсии величины капитала в зависимости от числовых характеристик случайного параметра . Рассмотрено влияние внешних колебаний на автоколебания системы. Сделан сравнительный анализ результатов регулирования капитала при двух стратегиях воздействия.

На основании результатов эксперимента сделаны следующие выводы:

• при росте дисперсии параметра оптимальная доля изъятия капитала, а также величина изъятия уменьшаются;
• увеличение доли изъятия приводит к уменьшению дисперсии величины капитала;
• величина изъятия при обеих стратегиях воздействия с ростом математического ожидания параметра стремится к оптимальной величине изъятия, соответствующего детерминированной модели с маржинальной рентабельностью, равной мат. ожиданию случайной величины ;
• оптимальное изъятие приводит к уменьшению разброса значений капитала;
• с ростом мат. ожидания параметра не наблюдается рост дисперсии капитала, как это было в отсутствие регулирования или при неоптимальном изъятии.

Сделанные выводы имеют определенный экономический интерес и могут быть использованы при управлении динамикой капитала, описываемой рассмотренной моделью.

Рецензенты:

Ембулаев В.Н., д.э.н., д-р транспорта, профессор, профессор кафедры математики и моделирования, ФГБОУ «Владивостокский государственный университет экономики и сервиса», г.Владивосток.

Мазелис Л.С., д.э.н., директор института информатики, инноваций и бизнес-систем, заведующий кафедрой математики и моделирования, ФГБОУ «Владивостокский государственный университет экономики и сервиса», г.Владивосток.