Железобетонные сжатые элементы широко распространены в практике строительства промышленных и гражданских зданий. К ним относятся несущие колонны одноэтажных и многоэтажных зданий различного назначения, опоры-стойки секционных мостов, сжатые элементы ферм (верхние пояса, стойки, некоторые раскосы) и другие элементы конструкций. Форма их поперечного сечения с точки зрения целесообразности и экономичности чаще применяется квадратной или прямоугольной, развитой в плоскости действия момента. При значительных по величине изгибающих моментах, действующих в одном направлении, поперечное сечение принимается тавровым или двутавровым. В данной научной работе рассматриваются железобетонные элементы, с прямоугольным поперечным сечением.

Сжатые железобетонные элементы рассчитываются по прочности поперечного сечения и устойчивости всего элемента как в плоскости действия момента, так и в другой плоскости, перпендикулярной к ней.

В нелинейной деформационной модели в соответствии с разделом 8 СП 63.13330.2012 используются следующиепредпосылки:

• сопротивление бетона растяжению принимают, равным нулю;
• сопротивление бетона сжатию представляется напряжениями, равными призменной прочности Rb и равномерно распределенными по сжатой зоне бетона;
• деформации (напряжения) в арматуре определяют в зависимости от высоты сжатой зоны бетона;
• растягивающие напряжения в арматуре принимают не более расчетного сопротивления растяжению Rs;
• сжимающие напряжения в арматуре принимают не более расчетного сопротивления сжатию Rsс.

Прочность прямоугольных сечений внецентренно сжатых элементов с арматурой, расположенной у противоположных в плоскости изгиба сторон сечения, при эксцентриситете продольной силы и гибкости определяется из условия:

(1)

где Nult – предельное значение продольной силы, которую может воспринять элемент;

Asc,tot – площадь всей продольной арматуры;

φ – коэффициент, принимаемый при длительном действии нагрузки в зависимости от гибкости элемента.

Расчет на устойчивость железобетонных элементов связан с определением критической силы, при которой элемент теряет устойчивость:

(2)

где l0 – расчетная длина элемента;

D – жесткость железобетонного элемента, равная:

D = kbEbI + ksEsIs, (3)

где Ebи Es – модули упругости бетона и арматуры;

I и Is – моменты инерции площадей сечения бетона и всей продольной арматуры относительно оси центра тяжести поперечного сечения элемента;

kb­ и ks­ – коэффициенты, равные:

ks = 0,7; (4)

φl – коэффициент, учитывающий влияние длительности действия нагрузки:

(5)

Ml1 и M1 – моменты относительно центра наиболее растянутого и наименее сжатого (при целиком сжатом сечении) стержня арматуры соответственно от действия полной нагрузки и от действия постоянных и длительных нагрузок.

δe – относительное значение эксцентриситета продольной силы:

(6)

где e0– эксцентриситет приложения продольной силы;

h – высота поперечного сечения.

Для прямоугольного сечения при расположении арматуры симметрично относительно оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно сечению, момент инерции

- бетонного сечения

(7)

- продольной арматуры

(8)

Коэффициент армирования определяется выражением:

(9)

откуда

(10)

Подставляя выражения (4), (7) и (8) в уравнение (3) получаем выражение для жесткости железобетонного элемента прямоугольного поперечного сечения:

(11)

Коэффициент α, показывающий отношение модуля упругости арматуры к модулю упругости бетона, равен:

(12)

Принимая во внимание соотношения (9), (11) и (12) формула для определения критической силы (2) примет вид:

(13)

Особый интерес в уравнении (13) вызывает коэффициент φl, стоящий в знаменателе. Чтобы наглядно показать проблему, существующую в действующих нормах, вынесем коэффициент φl за скобки и подставим в него выражение (5):

(14)

где полученное соотношение идентично выражению по снижению модуля упругости, которое тоже нормируется при учете продолжительного действия нагрузки:

(15)

где φb,cr – коэффициент ползучести (характеристика ползучести), принимаемый в зависимости от класса бетона по прочности и относительной влажности воздуха окружающей среды.

В теории ползучести бетона характеристика ползучести φ(t,τ) показывает отношение деформации ползучести εп(t,τ) в наблюдаемый момент времени t (t> τ) к начальным упругим деформациям бетона εу(τ), возникшим от нагрузки, приложенной в момент времени τ:

(16)

В российских и европейских нормах проектирования содержится предельная величина характеристики ползучести φ∞ = φb,cr, которая отражает время t = ∞, когда деформации ползучести уже не проявляются. Следует заметить, что в СП коэффициент ползучести бетона был получен для условий, когда мгновенные деформации εм удовлетворялись закону Гука и принимались упругими (εм = εу), а коэффициент ползучести φt по диаграмме Еврокода 2 получен при напряжениях, не превышающих 45 % от прочности бетонного цилиндра в возрасте 28 сут.

Многочисленные экспериментальные исследования второй половины XX века, проведенные как в СССР, так и за рубежом, показали, что зависимость между напряжением бетона и относительной мгновенной деформацией для случая кратковременного сжатия является криволинейной с ниспадающим участком (рис. 1). К числу исследований, направленных на экспериментальное получение диаграммы мгновенного деформирования бетона, и подбор функций, описывающих данную кривую, относятся работы П.А. Лукаша, В.В. Соколовского, А. А. Прокоповича, Л. И. Онищика, А. А. Дыховичного, С.А. Тазехулахова, Г. А. Гениева, С. П. Шаха и Дж. Винтера (Surendra P. Shah, GeorgeWinter), Г. М. Штурмана (GeraldM. Sturman), А. Кабайла (A. Kabaila), Л. П. Саенза (LuisP. Saenz), Л. Г. Тулина и К. Герстла (LeonardG. Tulin,KurtH. Gerstle), М. Саржина (MuharremSargin), П. Десая и С. Кришнана (PrakashDesayi,S. Krishnan), Ж.М. Смита и Л.Е. Янга (G. M. Smith, L. E.Young) и других авторов.

Рис. 1. Диаграмма мгновенного деформирования бетона,

нормируемая Еврокодом 2, частью 1-1

Аналитическая зависимость, аппроксимирующая данную кривую, описывается формулой Саржина, нормируемой в части 1-1 Еврокода 2[7]:

(17)

где k и η – коэффициенты, равные:

σс – напряжение бетона в момент наблюдения; εс – относительная деформация бетона;

εс1 – деформация бетона, соответствующая максимальному напряжению fсm;

εсu1 – предельная деформация бетона, соответствующая разрушению образца;

fcm – максимальное напряжение в бетоне (среднее значение прочности бетонного цилиндра при сжатии в возрасте 28 суток);

Ecm – касательный модуль упругости бетона, определенный в возрасте 28 суток.

Уравнение (17) можно записать в буквенных обозначениях, принятых в Российских нормах СП:

(18)

где εb0 – предельная относительная деформация бетона при равномерном осевом сжатии, равная 0,002.

Заметим, что выражение (18) никак не учитывается при определении значения Ncr по формуле (14). Неучет мгновенной нелинейности приводит к искажению конечных результатов в практических расчетах.

Опытным путем установлено, что линейная зависимость от напряжений для мгновенных деформаций и деформаций ползучести характеризует работу бетона при очень малых уровнях загружения – не более 20 % от призменной прочности бетона. При высоких уровнях загружения бетона, приближающихся к 80…90 % от предела прочности, существующие уравнения ползучести показывают существенное различие теории и эксперимента. Этот факт свидетельствует о том, что необходимо проведение дальнейших экспериментальных и теоретических исследований в теории железобетона, а именно, выведение уточненных уравнений нелинейных теорий ползучести бетона, получение предельной характеристики ползучести при совместном учете мгновенной нелинейности и нелинейной ползучести бетона, исследование напряженно-деформированного состояния сжатых элементов и совершенствование расчетов по первой и второй группах предельных состояний с учетом мгновенных нелинейных деформаций.

В работах [1, 2, 3] показан способ учета зависимости (17) в уравнениях ползучести нелинейной теории старения бетона. В частности, при описании диаграммы (см. рис. 1) полиномом пятой степени, который предложил известный специалист в теории железобетона – Байков В. Н., получено уточненное уравнение ползучести вида:

(19)

где E0 – начальный модуль упругости бетона;

Ψ – новый параметр нелинейной ползучести, равный:

(20)

β – коэффициент нелинейной ползучести, принимаемый по таблице Улицкого И.И.;

a, b,c,d и e – опытные коэффициенты, равные:

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Неоспоримым достоинством теории старения по сравнению с другими теориями ползучести является то, что при ее использовании появляется возможность получить аналитическое выражение для характеристики ползучести бетона с учетом формулы Еврокода 2 (17) и нелинейной ползучести.

Решая совместно уравнение (19) и уравнение равновесия

N = Ab·σb + As·Es·ε, (26)

можно прийти к следующим разрешающим уравнениям:

(27)

(28)

где ε – продольные деформации центрально-сжатого железобетонного элемента;

σb0 – начальное напряжение в бетоне в момент времени t = 0;

σb – напряжение в бетоне в момент наблюдения;

A,B и D – постоянные коэффициенты, равные и

Уравнения (27) и (28) позволяют не только изучать процесс изменения характеристики ползучести бетона φt во времени с учетом мгновенной нелинейности и нелинейной ползучести бетона (при σb≥ 0,45R), но и одновременно исследовать процессы изменения напряжений в бетоне σbи арматуре σsс течением времени и устанавливать особенности перераспределения этих напряжений с учетом мгновенной нелинейности бетона.

Чтобы проанализировать влияние ползучести и мгновенной нелинейности бетонана величину критической силы, при которой сжатый железобетонный элемент теряет устойчивость, рассмотрим следующую задачу.

Условие. Железобетонная колонна длиной 10,0 м прямоугольного профиля и сплошного сечения высотой h = 50 см и шириной b = 40 см имеет шарнирное опирание на двух концах и загружена продольной постоянной силой N, приложенной со случайным эксцентриситетом равным нулю. В этом случае коэффициент δe = 0.

Найти прочность сечения Nult и величину критической силы Ncr по действующим российским нормам СП и по методике, предложенной автором, и сравнить полученные результаты.

Исходные материалы:

• бетон тяжелый класса по прочности на сжатие В15:

- призменная прочность Rb = 85 кгс/см2,

- модуль упругости Eb = 240000 кгс/см2,

• арматура класса А400:

- расчетное сопротивление сжатию Rsс = 3550 кгс/см2,

- модуль упругости Es = 2·106 кгс/см2,

- защитный слой бетона а = а’ = 4 см.

Решение

Определим расчетную длину колонны l0 и ее гибкость λ:

l0 = 1,0H = 10,0 м,

В первом приближении принимаем арматуру 2×2Ø16А400 с площадью сечения стержня 2,011 см2 и общей площадью Asc,tot = 8,04 см2.

Определяем коэффициент армирования μ по выражению (9):

Прочность сечения по формуле (1) при гибкости колонны λ = 20:

Nult = 0,7 · (85 · 2000 + 3550 · 8,04) = 0,7 · (170000 + 28542) = 138979 кгс

1. Вначале произведем расчет согласно требованиям СП [6].

Принимаем отношение тогда коэффициент φl, учитывающий влияние длительности действия нагрузки:

и выражение для критической силы (14) примет вид:

где коэффициент α определяется отношением (12):

Вычисляем величину критической силы:

2. По предложению Байкова В. Н. и рекомендациям Еврокода 2 учтем в расчете касательный модуль полных деформаций (включая ползучесть).

Касательный модуль полных деформаций Eкас является величиной переменной и зависит от уровня загружения бетона. Для определения касательного модуля нужно знать деформации в железобетонной колонне при заданном уровне загружения:

Рассмотрим случай, когда на колонну действует нагрузка N, составляющая 80 % от предела прочности сечения, характеризующая высокий уровень загружения и область нелинейной ползучести:

N = 0,8 · 138979 = 111183 кгс.

Преобразуем уравнение (26), учитывая равенство напряжений в арматуре:

N = Ab·Eb·ε + As·Es·ε,

откуда получаем

Определим продольные деформации от действия силы N

Дифференцируя выражение (18) по переменной ε и подставляя в полученное выражение величину деформаций ε и исходные данные, получим значение касательного модуля полных деформаций Eкас = 116500 кгс/см2.

Тогда коэффициент α2 по формуле (12):

Преобразуем выражение для критической силы с учетом полученных значений:

Вычисляем величину критической силы:

3. Расчет с учетом коэффициента ползучести φb,crв соответствии с формулой (15).

В работах [2, 3] приведены результаты кратковременных и длительных экспериментальных исследований, проведенных автором, и показан способ экспериментального получения предельной величины характеристики ползучести для бетона класса В15 с помощью уравнения (27). В соответствии с рекомендациями Еврокода 2 принимаем коэффициент φb,cr при влажности от 40 до 75 % равным 3,4.

В этом случае коэффициент φl:

φl = 1 + φb,cr, (29)

или

φl = 1 + 3,4 = 4,4.

Для наглядности сравнения учитывать касательный модуль полных деформаций не будем. Выражение для критической силы записывается следующим образом:

Подставляя исходные данные, определяем:

4. Расчет с учетом коэффициента ползучести φb,cr и касательного модуля Eкас.

Таким образом, имеем выражение для критической силы:

Подставляя в формулу для критической силы исходные данные и величины φb,cr и Eкас, получаем:

5. Уточним Ncr с учетом параметра нелинейной ползучести Ψ, полученного автором в теоретических разработках.

Коэффициент φl, учитывающий влияние длительности действия нагрузки:

φl = 1 + Ψφb,cr, (30)

где Ψ – параметр нелинейной ползучести, определяемый выражением (20).

Тогда

(31)

Рассмотрим высокий уровень загружения (0,8Nult), создаваемый силой N = 111183 кгс. Параметр нелинейной ползучести β устанавливаем согласно исследованиям Улицкого И. И. – известного специалиста в области теории старения бетона:

β = 0,005.

Определим коэффициенты b и a для бетона по выражениям (21) и (22)

Тогда коэффициент:

По предложению Байкова В. Н. при применении нелинейной зависимости между мгновенными деформациями и напряжениями необходимо использовать величину Eкас. Преобразуем выражение для критической силы с учетом касательного модуля полных деформаций и полученного значения коэффициента φl = 1,044:

Подставляя исходные данные, определяем:

Таким образом, если взять за основу (100 %) значение критической силы, полученной в варианте № 1 (297100 кгс), то различия в результатах расчета последующих вариантов составят:

• вариант № 2 (169300 кгс) – 43 %;
• вариант № 3 (161600 кгс) – 46 %;
• вариант № 4 (103500 кгс) – 65 %;
• вариант № 5 (279800 кгс) – 6 %.

Полученные результаты указывают на необходимость учета касательного модуля полных деформаций и уточненного значения коэффициента ползучести, полученного с применением формулы (17) в расчетах железобетонных конструкций.

Рецензенты:

Веселов А.А., д.т.н., профессор кафедры железобетонных и каменных конструкций ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет», г. Санкт-Петербург.

Серов Е.Н., д.т.н., профессор кафедры конструкций из дерева и пластмасс ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет», г. Санкт-Петербург.