В связи с научно-техническим прогрессом в мире появляются всё новые технические устройства, и, соответственно, возникает необходимость повышения эффективности работы этих технических устройств. В связи с этим все чаще возникают задачи увеличения показателей качества того или иного устройства, таких как среднее время безотказной работы, надежность и другие. Это особенно важно в тех сферах жизни человека, где оборудование является дорогостоящим, труднодоступным или не подлежит ремонту. В данной работе рассматривается одна из таких задач, в которой необходимо указать стратегию оптимального управления резервом, если в наличии осталось небольшое кличество элементов, а также исследовать на оптимальность нулевую стратегию на бесконечном промежутке по критерию среднего времени работы.

Пусть имеется система S с дискретным временем, состоящая из конечного числа параллельно включенных в смысле надежности идентичных элементов. В моменты времени t_k=k Δ, где k = 0, 1, 2, … проводится проверка исправности включенных в работу элементов. Исправные элементы в резерве (не включённые в работу) остаются исправными. Система функционирует на промежутке [1, ∞). Вероятность безотказной работы одного элемента в течение промежутка длиной Δ равна p, вероятность отказа одного элемента за этот же промежуток – q.

Введем характеристики системы:

1) T(k,r) ­– среднее время работы системы при следующей стратегии: в момент начала работы системы из r имеющихся в наличии исправных элементов в работу включается k элементов, после первой проверки используется стратегия, оптимальная по критерию среднего времени безотказной работы;

2) T(r) – среднее время безотказной работы системы при оптимальной стратегии, если в

наличии имеется r исправных элементов;

3) Под K₀(r) будем понимать то количество элементов, которое нужно включить в работу при оптимальной стратегии, если в наличие имеется r исправных элементов.

Тогда по формуле полного математического ожидания [4], [5] имеем:

В [1] формула (1) записана в виде сигмы-многочлена:

 ,

где  – оператор, действующий на множестве оптимальных стратегий следующим образом:

 .

Сигма-оператор впервые ввели Пестов Г.Г. и Ушакова Л.В. в своих работах [2,3], в которых исследуются свойства оптимальных стратегий на конечном промежутке и в качестве критерия выбрана вероятность безотказной работы системы.

Требуется определить, с какого момента будет оптимальной следующая стратегия: после каждой проверки в работу включается два элемента, пока система не откажет. Иными словами, сколько должно остаться элементов в резерве для того, чтобы оптимальной стратегией до конца работы системы было постоянное включение двух элементов.

Ясно, что K₀(1)=1. Поскольку K₀(r) возрастает [1], то на некотором промежутке [r1,r2] значение оптимальной стратегии постоянно и равно 2. Покажем, что r₁=2, то есть K₀(2)=2.

Очевидно, что при любом r>1 и 0<p<1 справедливо неравенство T(2,r)-T(1,r)>0, то есть если имеется r исправных элементов, то в работу следует включать не меньше двух элементов. Значит, .

Воспользуемся свойством оптимальных стратегий, изложенным в работе [1].

Теорема 1: Для оптимальной стратегии выполнено 

Из теоремы 1 следует, что K₀(r) возрастает, но не более чем на 1. Отсюда получаем, что K₀(2)=2. Следовательно, при , значение K₀(r)=2. Значит, задача сводится к тому, чтобы найти r₂= r₂ (p). Далее потребуется следствие, сформулированное в [1].

Следствие: Если T(r,k-1)≤T(r,k), то k≤ k₀(r); если T(r,k-1)>T(r,k), то k≥ k₀(r).

Так как на отрезке [2,r2] значение K₀(r)=2, то для всех  выполнено . Найдем r₂= r₂ (p) из этого неравенства. Рассмотрим разность

Вычислим T(r) из предположения K₀(r)=2:

Отсюда получаем рекуррентную формулу для вычисления T(r)

Введем обозначения

Тогда методом математической индукции можно доказать следующую формулу:

Учитывая, что , получим

Для удобства преобразуем данное выражение к следующему виду:

 (3)

Так как K₀(r-2)= K₀(r-1)=2 при r > 3, то для вычисления значений T(r-1) и T(r-2) используем также соотношение (3). Имеем

 (4)

Таким образом, задача сводится к решению неравенства

(5)

Введем обозначения

Легко видеть, что f(p)>1 и g(p)>1 при . Тогда из неравенства (4) имеем

  (6)

Следовательно, если , то оптимальное количество элементов, включаемых в работу, равно 2.

Рассмотрим далее задачу об оптимальности нулевой стратегии для введенной выше модели резервирования на бесконечном промежутке.

Определение. Стратегия, при которой все имеющиеся в наличии исправные элементы включаются в работу, называется нулевой стратегией [3].

Изучением вопроса оптимальности нулевой стратегии для модели резервирования на конечном промежутке по критерию надежности занимались в своих работах Пестов Г.Г. и Ушакова Л.В. Ими было найдено условие оптимальности нулевой стратегии, изложенное в работе [3].

В данной работе доказано, что на бесконечном промежутке нулевая стратегия никогда не является оптимальной, в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Для любого r>2 справедливо неравенство K₀(r)<r.

Замечание: Неравенство K₀(r)<r означает, что нулевая стратегия для рассматриваемой в данной работе модели никогда не будет оптимальной (если r >2), то есть для того, чтоб система дольше проработала, всегда необходимо оставлять в запасе некоторое количество элементов.

Доказательство.

В силу свойства  [2] получаем, что

 (7)

Покажем, что K₀(3)=2, то есть T(2,3)>T(3,3).

Если K₀(3)=3, то 

 (8)

Если же K₀(3)=2, то 

 (9)

Определим знак разности T(2,3)-T(3,3). Имеем

 (10)

Так как знаменатель в (9) положителен, определим знак числителя, учитывая, что

.

Имеем

Таким образом, T(2,3)>T(3,3) при любом значении . Значит, K₀(3)=2.

Возвращаясь к неравенству (7), имеем

.

Теорема доказана.

Следствие: Для модели резервирования на бесконечном промежутке K₀(3)=2.

Таким образом, если всего имеется три элемента, то расходовать их следует экономно, включая в работу два элемента, до тех пор пока не останется один элемент.

Для вычисления оптимальной стратегии в работе [1] был предложен алгоритм, основанный на использовании метода динамического программирования Беллмана [5], согласно которому на первом шаге вычисляется T(1)=p/q. Далее, используя свойство оптимальных стратегий, можно его упростить. То есть если вычислены значения T(1), T(2), ... , T(r-1) и K0(1), K0(2), ... , K0(r-1), то для нахождения K0(r) следует вычислить два значения: T(K0(r-1)) и T(K0(r-1)+1).

Если T(K0(r-1))> T(K0(r-1)+1), то K0(r)= K0(r-1); если же T(K0(r-1))< T(K0(r-1)+1), то K0(r)= K0(r-1)+1. Таким образом, количество операций на выполнение поиска оптимальной стратегии значительно уменьшается по сравнению с непосредственным перебором.

Выводы:

1. В работе найдены границы промежутка, как функции параметра p, на котором оптимальной стратегией является включение в работу двух элементов.
2. Полученные результаты можно использовать для сокращения алгоритма поиска оптимальной стратегии, предложенного в [1]. А именно, как только в резерве осталось меньше, чем    , то в работу постоянно включается 2 элемента.
3. Доказано, что нулевая стратегия для рассматриваемой модели никогда не будет оптимальной (за исключением случаев r=1, 2). Это значит, что хотя бы один элемент всегда нужно оставлять в резерве. Данное свойство также упрощает алгоритм поиска оптимальной стратегии.

Рецензенты:

Трифонов А.Ю., д.ф.-м.н., профессор, профессор кафедры квантовой теории поля физического факультета, ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет», г. Томск;

Пестов Г.Г., д.ф.-м.н., профессор, профессор кафедры математического анализа механико-математического факультета, «Национальный исследовательский Томский государственный университет», г. Томск.