Цена и ценообразование являются одними из основных элементов рыночной экономики. Установление определенной цены на товар или услугу необходимо для последующей их продажи и получения прибыли. Стратегия и тактика ценообразования в значительной степени определяют коммерческую успешность любого производителя товаров или услуг. При этом при принятии управленческих решений приходится учитывать зависимость цены не только от экономических факторов, но и политических, и социальных, и психологических.

Важным моментом в этом процессе является учет сезонной волатильности, поскольку существует достаточно большое множество категорий товаров и услуг, цены на которые подвержены сезонным колебаниям. Так, хорошо известны сезонные особенности цен на рынке жилой недвижимости. В зависимости от времени года изменяются цены на сельскохозяйственную продукцию, одежду, обувь, автомобили, лекарственные средства,  алкогольную продукцию, драгоценные металлы, нефть, туристические услуги, железнодорожные и авиабилеты и т.д. Периодические колебания цен могут возникать и на более длительных временных интервалах.

Целью данной работы является исследование нелинейной модели динамики цены, которая сводится к уравнению Риккера [3], возникшее в математической биологии для описания динамики численности популяции.

Идея применения биологических моделей в экономике представляется перспективной, шаги в этом направлении были предприняты, например, в работах [3,5,7]. 

Опишем динамику цены уравнением [3]  

,(1)

где  – параметр адаптации, характеризующий скорость реакции цены на дисбаланс рынка,  и  объемы спроса и предложения в период .

Пусть объемы спроса и предложения выражаются формулами:

,(2)

,(3)

тогда уравнение (1) имеет вид

(4)

Произведя замены

, , приходим к уравнению Риккера [6]:

  (5)

Изменение динамического поведения модели (5) в зависимости от параметра достаточно хорошо изучено. Так, например, проведен анализ динамического поведения модели при учете колебаний параметра, характеризующего степень экологического лимитирования роста численности [2], подробно исследована задача оптимизации промысловых изъятий из риккеровских популяций при условии циклического изменения параметров [1,4].

В данной работе исследуется динамика цены, описываемая уравнением (5), при периодическом изменении параметра  в цикле длины два. Предположим, что параметр  изменяется периодически под влиянием сезонных изменений свободных переменных  и  в формулах спроса и предложения.

Учитывая указанные условия, получим модель динамики цены, описываемую следующей системой уравнений:  

(6)

где .

Или

(7)

В связи с симметричностью уравнений системы относительно параметров, рассмотрим одно из уравнений, например,

(8)

Стационарные точки находим из уравнения

(9)

 или .

Вопрос об устойчивости равновесных значений рассматривается методом исследования производной правой части (9). Положение равновесия является локально устойчивым в случае, когда отклонения, возможно достаточно малые, от этого положения с течением времени убывают, и неустойчивыми, когда эти отклонения возрастают. Для гладкой функции используем следующий критерий устойчивости неподвижной точки   уравнения : неподвижная точка  устойчива, если , и неустойчива, если .

   Таким образом, в области , имеем единственную неподвижную точку  , являющуюся глобально устойчивым положением равновесия.

При  нулевое положение равновесия неустойчиво. Характер устойчивости нетривиальной неподвижной точки уравнения (8), для которого , можно определить из решения соответствующих неравенств.

1)      В случае если , неподвижная точка  устойчивая, переход к равновесию происходит монотонно.

2)      Если , то неподвижная точка  устойчивая, переход к равновесию происходит путем затухающих колебаний.

3)      Если , то неподвижная точка  неустойчивая, отход от которой происходит путем расходящихся колебаний.

4)      В случае если  неподвижная точка  неустойчивая, отход от которой осуществляется монотонно.

 Для нетривиальной неподвижной точки , удовлетворяющей уравнению (9) производная имеет вид .

Отметим следующие результаты аналитических исследований устойчивости нетривиальной неподвижной точки  в области .

При  - устойчивая, более того, переход к равновесию происходит монотонно, причем .

Если , то - устойчивая неподвижная точка, переход к равновесию происходит монотонно при  и путем затухающих колебаний при .

Если , то - устойчивое состояние переход к равновесию происходит монотонно при .

Если , то при выполнении условия , нетривиальное стационарное состояние является устойчивым с монотонным переходом.

Численные методы позволяют сделать выводы о наличие циклов и характере их устойчивости. Бифуркационные диаграммы, построенные для каждого периода в трехмерном пространстве в зависимости от параметров, а также сечения бифуркационной диаграммы плоскостями постоянных значений одного из параметров, иллюстрируют влияние параметров спроса, предложения и адаптации на сезонное изменение  динамики цены. Анализ бифуркационных диаграмм, классификация их сечений требуют дополнительных исследований, подробное описание которых предполагается изложить в следующих работах по предложенной теме.

Сделанные на основании полученных результатов численных и аналитических исследований выводы имеют определенный экономический интерес и могут быть использованы при изучении динамики цены, описываемой предложенной моделью.

Рецензенты:

Солодухин К.С., д.э.н., профессор, профессор кафедры математики и моделирования, ФГБОУ «Владивостокский государственный университет экономики и сервиса», г. Владивосток;

Мазелис Л.С., д.э.н., заведующий кафедрой математики и моделирования, ФГБОУ «Владивостокский государственный университет экономики и сервиса», г. Владивосток.