Анализ и синтез сложных систем непосредственно связан с решением известных прямых и обратных задач. В прямой задаче предполагается определение с помощью операторного уравнения выходной координаты по известному возмущению, известным характеристикам помехи, оператору системы или ее звеньев (рис.1):

;

– управляющий сигнал, – выходная координата (реакция на управляющий сигнал), – оператор объекта управления.

Рис.1. Система с возмущениями и помехами

С учетом взаимодействия управляющего сигнала и помехи:

.

Так что

.

В системах с обратной связью управляющий сигнал формируется по сигналу обратной связи и возмущению , действующему на входе системы:

.

Таким образом, здесь

.

Две обратные задачи связаны с использованием реализации случайных процессов системы, регистрируемых в режиме ее функционирования. В первой задаче определяется оператор системы; она известна как задача идентификации. Вторая обратная задача связана с отысканием статистических характеристик внешних возмущений , действующих на систему, внутренних помех и мест их локализации (идентификация возмущений и помех). К сожалению, одновременное решение этих двух задач невозможно [1,2, 3, 5].

Так, идентификация динамических характеристик может производиться лишь при наличии экспериментальных данных о сигналах и априорных сведений о внутренних помехах (необходимы в случаях, когда они коррелированы с внешними возмущениями). Во многих случаях данные о помехах могут быть получены априори только в режиме отладки систем при отсутствии внешних возмущений. Поэтому полученные в результате идентификации динамические характеристики системы могут отличаться от тех, которые соответствуют режиму функционирования системы.

При решении задачи идентификации помех необходимо иметь экспериментальные данные и знать динамические характеристики системы или ее звеньев. Очевидна необходимость использования метода итераций. Что касается методических вопросов идентификации возмущений и помех, действующих в сложных многомерных системах, в том числе с перекрестными связями, то удовлетворительного решения на сегодня нет.

Описание систем в частотной области оказывается более удобным и экономичным, особенно для стационарных систем. Здесь динамические характеристики и взаимная спектральная плотность не зависят от времени и возможно определение частотной характеристики идентифицированной системы по известным спектральным плотностям:

.

Однако при идентификации динамической системы, функционирующей задолго до момента анализа (накопление энергии к моменту ), возможно получение больших ошибок, связанных с влиянием погрешностей вычисления корреляционных функций, а затем и спектральных плотностей.

Основная сложность в решении уравнения идентификации связана с некорректностью задачи (даже при вычислении корреляционных функций и спектральных плотностей с высокой степенью точности). Действительно, импульсная переходная функция

.

При ошибке вычисления взаимной корреляционной функции спектральная плотность также будет вычислена с ошибкой . Вместо истинной импульсной переходной функции получим ее оценку

;

норма ошибки

.

Как видим, норма ошибки может быть как угодно большой в зависимости от распределения спектральной плотности . Задача идентификации является не корректной. Для классически корректно поставленной задачи произвольно бесконечно малым возмущениям исходных данных должны соответствовать бесконечно малые возмущения решения. Если и имеют нули одинаковой кратности в какой-либо конечной точке оси , то погрешность решения также может быть значительной. К сожалению, решение уравнения идентификации в частотной области принципиально возможно лишь для непрерывно и длительно функционирующих систем со стационарными или стационаризируемыми (нестационарные сигналы, корреляционные функции которых определяются двойным усреднением: сначала – по времени определяется , а затем – по ансамблю ) входными сигналами. Даже в этом случае возникают трудности из-за плохой обусловленности решения и связанной с этим некорректностью задачи. Корректность решения, в первую очередь, зависит от распределения спектральной плотности входного сигнала.

Для восстановления идентифицируемых характеристик в случаях, когда начало идентификации совпадает с началом функционирования системы, частотные методы, строго говоря, не применимы (нет возможности перехода к спектральным плотностям).

Для колебательных систем весьма актуально решение уравнения идентификации

для системы, находящейся под воздействием стационарных или стационаризируемых входных сигналов. Известно, корректность решения связана с выполнением условий:

- спектральная плотность должна содержать четные степени , если степень числителя меньше степени знаменателя ;

- знаменатель не должен иметь действительных корней и превращаться в нуль, или быть достаточно близок к нему;

- числитель не должен иметь действительных корней;

- коэффициенты полиномов и должны быть действительными.

Точность идентификации будет тем больше, чем больше отличается от нуля при всех действительных в диапазоне исследуемых частот.

При решении ряда задач виброзащиты [6,7] нами использовался приводимый ниже алгоритм решения уравнения идентификации (система на подвижном основании со стационарным или стационаризируемым сигналом; моменты начала идентификации и функционирования совпадают).

1. Определение по экспериментальным данным корреляционной функции входного сигнала и взаимной корреляционной функции .

2. Вычисление .

3. Представление в виде ;

и – полиномы относительно , содержащие только четные степени относительно частоты ( – четная функция).

4. Определяется частотная характеристика так называемого формирующего фильтра (). Для этого и разлагаются на множители; отбираются в полученных разложениях множители, соответствующие корням, расположенным в верхней полуплоскости комплексной переменной , добавляются к таким множителям (– коэффициент при в разложении полинома ) и ( – коэффициент при в разложении полинома ).

5. Определение спектральной плотности по корреляционной функции .

6. Наконец, определяется

.

Справедливо:

,

.

Предложенный алгоритм прошел положительную апробацию при определении характеристик, как объекта, так и оператора по данным нормального функционирования транспортной эргатической системы [4, 6-9].

Рецензенты:

Родионов Ю.В., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Эксплуатация автомобильного транспорта», декан автомобильно-дорожного института ПГУАС, г. Пенза;

Кошев А.Н., д.х.н., профессор, профессор кафедры «Информационно-вычислительные системы» Пензенского государственного университета архитектуры и строительства, г. Пенза.