В работах [2, 3] и [1, 4] рассмотрены две различные математические модели для описания свободной конвекции в воздушном зазоре навесных вентилируемых фасадов (НВФ). Хотя они обе основаны на приближении Буссинеска, варианты которого подробно изложены в [5], тем не менее в основе их лежат разные дифференциальные уравнения. Кроме того, они основаны на различных дополнительных допущениях.

В обеих моделях рассматривается плоский, вертикальный слой воздуха заданной ширины и высоты, соответствующим ширине воздушного зазора и высоте здания. Ось z – направлена вверх, а ось х – горизонтально поперек зазора (рис.1).

Плотности тепловых потоков через стенки зазора q1 и q2 (рис.1), а отношение их проекций на ось х: .

Рис. 1. К постановке задачи для плоского слоя.

В обеих моделях предполагается, что скорость имеет только вертикальную составляющую и зависит только от координаты х.

Избыточная температура Т, по сравнению с температурой внизу зазора, в первой модели [2, 3] зависит только от х, а во второй модели [1, 4] от х и z.

Избыточное давление р, по сравнению с барометрическим атмосферным, в обеих моделях зависит только от z.

При обезразмеривании основных величин так, как принято в работе [3], распределение скорости по первой модели имеет вид [1, 2]:

, (1)

а распределение температуры:

. (2)

Распределение скорости по второй модели [1, 4] имеет следующий вид [4]:

, (3)

где коэффициенты С1 и С2 определяются по формулам [4]:

, (4)

Трансцендентное уравнение для определения k, входящего в формулы (3) – (4), имеет вид [4]:

, (5)

где R – число Релея. Распределение температуры для второй модели имеет вид [4]:

, (6)

Сравнивая формулу (1) с формулой (3) и формулу (2) с (6) трудно предположить, что в некотором предельном случае они совпадут.

Отметим также разницу в дополнительных допущениях обеих моделей. В первой модели предполагается, что расход поперек воздушного зазора равен нулю [3]:

, (7)

Условие (7) представляется естественным для свободной конвекции в зазоре с горизонтальными рассечками.

Во второй модели требования (7) – нет. Дополнительными допущениями этой модели является отсутствие прогрева слоя воздуха в самом низу зазора [1, 4]:

, (8)

Основанием для гипотезы об эквивалентности этих двух моделей при ε→1 могут являться графики скорости и температуры, приведенные в работе [4] для ε = 0,8. Они довольно близки к графикам функций (1) и (2) – соответственно. Для того чтобы найти выражения для скорости и температуры при ε = 1, сначала необходимо найти k, соответствующее значению ε = 1.

Для данного значения ε = 1 формулы для коэффициентов С1 и С2 (4), после преобразований примут вид:

(9)

Тогда уравнение для определения k (5), после преобразований, можно записать в виде:

. (10)

Единственным решением этого уравнения в области действительных чисел является k = 0. Это же подтверждается графиком левой части уравнения (10), приведенным на рис. 2. Таким образом, при ε = 1 k = 0 для любых чисел Релея R.

При k = 0 невозможно непосредственно получить значения С1 и С2, а также вид функций скорости и температуры, т. к. выражения (9), (3), (6) приводят к неопределенности типа . Тем не менее имеется возможность рассчитать скорость при малых k по формуле (3), где координаты С1 и С2 находятся по формулам (9).

Рис. 2. График левой части уравнения (10)

На рис. 3 приведены графики распределения скорости. Из этого рисунка видно, что при k = 0,01 графики скорости, построенные по зависимостям (1) и (3), совпадают с точностью до графического разрешения. Это еще раз подчёркивает правомерность выдвинутой гипотезы о

совпадении математической модели [1, 4] с моделью [2, 3] при ε→1.

После преобразований формулы (3) при ε = 1 получим следующие выражение для скорости:

, (11)

Рис. 3. Распределение скорости поперек воздушного зазора, рассчитанные по формулам (1) и (3) при ε = 1 и различных k.

Входящие в формулу (11) выражения необходимо разложить в ряд Тейлора для малых k, а

значит и kх, т. к. 0 ≤ х ≤ 1. Разложение тригонометрических и гиперболических функций по малому параметру k дает:

, (12)

Получим разложение в ряд Тейлора для комбинаций этих функций, которые входят в выражение для v(х) (11) и войдут для Т(х) (6).

, (13)

где,

Если в (13) обозначить n = 2l; l = 0, 1, 2, 3…; то формула (13) примет вид:

, (14)

Аналогично, получим следующие выражения:

, (15)

, (16)

Для произведений гиперболических и тригонометрических функций, с учетом (12), получим следующие выражения:

, (17)

Используя формулы (12), (16), (17), выражение для скорости (11) примет вид:

, (18)

Окончательно, из (18) получаем:

, (19)

Выражение (19) полностью совпадает с выражением (1).

Далее рассмотрим выражение для температуры (6), которое при ε = 1 примет вид:

, (20)

С учетом разложений гиперболических и тригонометрических функций в ряд Тейлора (12) – (17), можно записать

, (21)

Или окончательно, при k→0:

, (22)

Видно, что формула (22) полностью совпадает с формулой (2).

Таким образом, распределение скорости и температуры (3) и (6) переходят в распределение (1) и (2) при ε = 1. Отметим, что ε = 1 соответствует случаю, когда тепловой поток через облицовочный слой НВФ равен по величине и направлению тепловому потоку через конструктивный слой. В этом случае, в частности, получаем линейное распределение температуры поперек воздушного зазора, а распределение скорости соответствует нулевому расходу, т.е. в зазоре должны быть как восходящие, так и нисходящие потоки воздуха.

В заключение заметим, что плотность теплового потока q1 определяется температурами атмосферы и внутри зазора, термическим сопротивлением облицовки и радиационным тепловым потоком. Плотность теплового потока q2 определяется температурами внутри зазора и здания, а также термическим сопротивлением конструктивного слоя.

Математическая модель, принятая в работах [1, 4], является более общей. В частном случае (q1 = q2), она переходит в математическую модель работ [2, 3].

Рецензенты:

Зуев В.А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Кораблестроение и авиационная техника» НГТУ им. Р.Е. Алексеева, г. Нижний Новгород;

Грамузов Е.М., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Аэро-гидродинамика, прочность машин и сопротивление материалов» НГТУ им. Р.Е. Алексеева, г. Нижний Новгород.