Не теряя общности, рассмотрим цепь вида:

Рис. 1. Электрическая цепь с двумя диодами и двумя конденсаторами

где Ri(i = 1,2,3) – сопротивление элементов цепи,

Сi(i = 1,2) – конденсаторы постоянной емкости,

ij(j = 0,4) – величины токов на соответствующих участках цепи,

Vj (j = 1,2) – величина напряжения на соответствующем диоде,

u(t) – электродвижущая сила источника.

В этом случае имеет место следующий нелинейный вариант закона Ома:

(1)

где R+ и R- – различные положительные постоянные, соответствующие электрическому сопротивлению диода при протекании через него переменного тока в прямом и обратном направлениях соответственно.

Исследование математической модели для электрической цепи, содержащей два диода и два конденсатора, представляющую собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, было проведено в статье [4].

Запишем систему дифференциальных уравнений для напряжений на конденсаторах в электрических цепях для случая, когда в электрической цепи соединены два диода и два конденсатора по схеме, представленной на рисунке 1 [2],

(2)

или в векторной форме:

(3)

Обозначим через αi значение 1/Ri, i=1, 2,3.

В качестве уравнений сравнения выберем уравнения вида:

(4)

или в векторной форме:

(5)

Тогда систему уравнений (2) можно записать в виде:

(6)

Обозначим оценки компонент вектор-функции так:

(7)

Запишем фундаментальную матрицу решений системы (4):

(8)

и обратную к ней:

 (9)

где:

причем

Рассмотрим случай, когда напряжение источника представляет собой затухающий колебательный процесс, то есть, будем считать, что при . Используем результаты статей [3, 5].

Определим для уравнений (2) и (4) множества N и . Очевидно, что Из (7) видно, что и зависят от , поэтому в качестве выбираем .

Пусть функции сравнения выбраны так:

(10)

тогда

(11)

Теорема. Если функция удовлетворяет условиям:

1. Пусть интеграл:

(12)

где сходится;

2. Все решения уравнения:

ограничены, то уравнения (2) и (4) покомпонентно асимптотически эквивалентны по Брауеру относительно функций , при +

Доказательство. Воспользуемся теоремой 1.1.5 [1]. Проверим условие:

Это условие будет выполнено, если

Все элементы фундаментальной матрицы ограничены, т.е.

Тогда по теореме 1.1.5 [1] уравнения (2) и (4) покомпонентно асимптотически эквивалентны по Брауеру относительно функций , что и требовалось доказать.

Рассмотрим случай, когда напряжение источника лишь только ограниченная функция, то есть Зафиксируем начальный момент времени Будем считать, что при ,

Найдем оценку для решений, удовлетворяющих начальными условиями , .

Пусть X – банахово пространство всех ограниченных и непрерывных вектор-функций, определенных на множестве .

Рассмотрим шар и оператор:

(13)

где и – фундаментальная матрица решения и обратная к ней. Для компонент вектор-функции – справеливы оценки (6)

Тогда имеем:

(14)

Принимая во внимание, что неравенство примет вид:

или

. (15)

Для второй компоненты оператора L справедлива оценка вида:

(16)

Положим, что . Тогда оператор будет оператором, отображающим шар в шар, то есть , если будет выполнены условия:

(17)

Заменим в (17) выражение для через , получим:

(18)

Таким образом, c учетом (18), для оператора при фиксированном выполняются все условия принципа Шаудера о неподвижной точке, то есть Поэтому справедлива оценка для

(19)

при где левые части неравенства (18).

Из оценок (19) можно сделать вывод: если элементы электрической цепи подбирать так, чтобы выполнялось соотношение (18), то падение напряжения на конденсаторах не будет превосходить величины напряжения источника U.

Рецензенты:

Денисов Б. Н., д.ф.-м.н., профессор кафедры радиотехники Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева, г. Саранск;

Щенников В. Н., д.ф.-м.н., профессор кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева, г. Саранск.