Известно, имитационные характеристики обучающих комплексов по подготовке операторов транспортных систем во многом определяются латентным периодом формирования оператором управляющих воздействий, наличием люфтов в канале управления и др. [4, 7, 8].

Наличие запаздывания усложняет выбор численных методов для имитационного моделирования объекта управления эргатической системы. Действительно, рассмотрим систему второго порядка:

При очень малых таких, что ими можно пренебречь (достаточная точность интегрирования обеспечивается уже при шаге ), придем к задаче без запаздывания:

При больших запаздываниях шаг интегрирования должен соразмеряться с запаздыванием; при , можно принять , где .

В векторно-матричной форме имеем:

– оператор сдвига:

При задача сводится к определению решения:

;

возможно уменьшение шага (вместо принять шаг , где

).

При использовании метода Рунге – Кутта второго порядка точности:

При , исходная задача с запаздыванием решается приближенно с шагом . Здесь метод Рунге – Кутта принимает вид:

В силу непрерывной зависимости корректно поставленной задачи от запаздывания при небольших значениях запаздывания зависимость между шагом , частотой , декрементом затухания и заданной точностью (при фиксировании остальных параметров системы) остается близкой к той зависимости, которая существует для систем без запаздывания. В остальных случаях для получения требуемых имитационных характеристик обучающего комплекса выбор шага при интегрировании уравнений движения объекта должен осуществляться с учетом величин запаздывания в различных контурах управления. Действительно, рассмотрим моделирование короткопериодической составляющей продольного движения транспортного самолета. В этом случае задача сводится к решению уравнения:

,

где – двумерная вектор-функция, – квадратная матрица. Задача определяется шестью параметрами: компонентами матрицы и вектора .

В случае мнимых корней характеристического уравнения решение задачи имеет вид:

где – линейно независимые векторы.

При приближенном решении численным методом с шагом для погрешности вычисления методом Рунге – Кутта второго порядка точности справедливо:

,

где

Так как , то

Имеем:

.

Очевидно, . Поэтому в качестве параметров, определяющих систему, можно взять следующие шесть: и компоненты векторов .

С учетом:

получим:

Из

следует:

.

Как видим, при фиксированных компонентах векторов и имеем:

и шаг определяется декрементом затухания и частотой (зависимость для приводится на рис. 1).

В рассматриваемом случае полоса рабочих частот ограничена сверху 10с-1, снизу – 2с-1; безразмерный коэффициент затухания изменяется в пределах от 0,4 до 0,9.

Рис.1 .Зависимость шага интегрирования h от

С ростом величина:

уменьшается (); допустимый шаг растет с ростом .

Не случайно при настройке тренажеров возникает стремление увеличить коэффициент демпфирования при достаточно больших реальных значениях (приводит к искажению характеристик самолета: увеличение вызывает соответствующее уменьшение собственной частоты ). Точка в областях равных оценок пилотажных характеристик сдвигается (оценка пилотажных характеристик тренажера улучшается, а соответствие самолета и модели – ухудшается).

Для системы без затухания ():

Для отношения максимально допустимых шагов для систем с собственными частотами и (оценка сверху) справедливо:

;

В полосе рабочих частот от 2 рад/сек. до 10 рад/сек. допустимый шаг интегрирования изменяется более чем в 10 раз.

Аналогичную оценку для шага можно получить, исходя из условия:

;

Имеем

+

+ ;

;

.

Откуда:

или .

Если, то .

Максимальные значения шагов и , полученные по условиям и, соответственно приводятся на рис. 2 (принято В = С = 1).

Рис. 2. Зависимость шага интегрирования h от e и d

Полученные оценки использовались при разработке имитационных моделей объекта управления транспортной эргатической системы с интегрированием уравнений движения в реальном масштабе времени с обновлением начальных условий и переменных параметров на каждом шаге интегрирования [1…3, 5, 6].

Рецензенты:

Родионов Ю. В., д.т.н., декан автомобильно-дорожного института ПГУАС, профессор, заведующий кафедрой «Эксплуатация автомобильного транспорта», г. Пенза;

Логанина В. И., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Управление качеством и технологии строительного производства» Пензенского государственного университета архитектуры и строительства, г. Пенза.