Краевые задачи для уравнения теплопроводности, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины, возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью [1].Аналогичные задачи возникают также в практике регулирования солевого режима почв [5].

Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка возникают при описании физических процессов стохастического переноса. Для описания движения примеси в потоке однородной жидкости используется также уравнение дробного порядка [2]. Численным методам решения уравнений с дробными производными посвящена, например, работа [3].

В одномерном случае задачи, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины,  рассмотрены в [4]. В работе [10] построена локально-одномерная схема для многомерного уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоёмкостью. Здесь рассматривается случай многомерной задачи для уравнения диффузии дробного порядка, когда на границах области по каждому направлению помещена сосредоточенная теплоёмкость величины . Локально-одномерные схемы для решения многомерных задач математической физики впервые введены в рассмотрение Самарским А.А.  [7].

1.      ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В цилиндре, основанием которого является –мерныйпрямоугольный параллелепипед с границей  Г, рассматривается задача:

           (1)

,

Коэффициенты удовлетворяют условиям:;, 

естьрегуляризованная дробная производная Римана-Лиувилля порядка , .

2.      ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА

В замкнутой области строится сетка  , –пространственная сетка, равномерная по каждому направлению , – равномерная сетка, содержащая вместе с узлами  так называемые "фиктивные" узлы– множество узлов сетки , для которых .Следуя [8], многомерному уравнению (1) поставим в соответствие цепочку "одномерных" уравнений. Для этого уравнение (1) перепишем в виде:

или

Здесь – произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и  и удовлетворяющие условию На каждом полуинтервалебудем последовательно решать задачи:

(4)

полагая при этом

      (7)

     Каждое уравнение (4) номера  будем аппроксимировать на полуинтервале  двухслойным разностным уравнением. В результате получим цепочку  одномерных разностных уравнений, которую вместе с граничными и начальными условиями назовем, следуя [8], локально-одномерной схемой.Итак, цепочка  одномерных разностных уравнений, соответствующих (4), имеет вид:

 (8)

где  – произвольный параметр,  – разностный оператор, соответствующий  ,

 – дискретный аналог дробной производной   порядка точности  [4], 

            Будем рассматривать случай чисто неявной схемы  Задачу (4)-(6) заменим локально-одномерной разностной схемой:

            (9)

(10)

где

        (12)

.

3.      ПОГРЕШНОСТЬ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ

Сделаем обозначение   . Подставляя   в (9)-(12) получим задачу для погрешности .  Для разностного уравнения получим

   (13)

где

Введем обозначение   и, замечая, что   если выполнено условие  представим  в виде суммы    где

Ясно, что

Граничное условие (11) при  перепишем так

В (14) подставим    и будем иметь:

Здесь

К правой части последнего добавим и отнимем

Тогда будем иметь:

где

Аналогично запишется и для граничного условия при . Таким образом, имеем

где  , ,   ,  Таким образом, локально-одномерная схема (9)-(12) обладает суммарной аппроксимацией

4.      УСТОЙЧИВОСТЬ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ

Исследование устойчивости локально-одномерной схемы (9)-(10) будем проводить с помощью принципа максимума. Для этого разностное уравнение и граничное условия приведем к каноническому виду [6]:

где , узлы сетки, – окрестность узла , не содержащая самого узла . Коэффициенты  и  должны удовлетворять условиям

Обозначим через  узел -мерной сетки , где , ; через  – границу сетки , состоящую из узлов  при  и узлов  при  и  для всех значений    и  .

Распишем уравнение (9)

в индексной форме и приведем к каноническому виду (15).  Имеем:

.       (17)

Здесь заметим, что 

С учетом (18), (19)  перепишем уравнение (17):

где 

Приведем теперь граничные условия (11) для    и к каноническому виду. Для  с учетом(18), (19) имеем:

где  

Аналогично для краевого условия при с учетом (18), (19) имеем:

где  

Из (20)-(22) находим:

где 

Представим теперь решение задачи (9)-(12) в виде суммы ,где  –  решение задачи при , ;   – решение задачи при  ().Оценки для решения  и  будем получать с помощью принципа максимума для сеточного уравнения каноническоговида (15) при выполнении на коэффициенты условий (16).Итак, имеем задачи дляи  соответственно:

     (24)

                    (26)

где операторы    и     имеют вид (11). Уравнение в (23) в канонической форме запишем:

Далее воспользуемся леммой из [4], согласно которой приимеет место неравенство

, .      (28)

С учетом (28) выражения в круглых скобках положительны.Имеем, что для коэффициентов  ,  и  в уравнении (27) выполнены условия (16) и . На основании теоремы 3  ([6], с.344)  для  получаем оценку:

Для оценкиперепишем уравнение в (25) в виде:

где

.

Проверим выполнение условий теоремы 4 ([6], с.347):

, .Условия (30) выполняются для всех , ,

Здесь – множество узлов , – множество узлов .

Итак, на основании теоремы 4 (см. [6], с.347) для функции после суммирования по  , а затем по  имеем оценку:

Собирая оценки (29) и (31), получаем окончательную оценку:

Из априорной оценки (32) следует устойчивость локально-одномерной схемы (9)-(12) по входным данным задачи.

5. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ

Чтобы использовать свойствопредставим, по аналогии с [8], решение задачи для погрешности (13) в виде суммы.В этой сумме функция  определяется условиями:

Функция  определяется условиями:

где , ,

На кубической сетке  при условиях , справедливо:

, ,

,

где –  известные постоянные. Если существуют непрерывные в замкнутой области  производные, то .Для оценки решения задачи (34) воспользуемся оценкой (32):

где  независящая от  и .Из оценки (35) находим, что

откуда получаем

Таким образом, справедлива следующая

Теорема.Пусть задача (1)-(3) имеет единственное и непрерывное в решение  и существуют непрерывные в  производные

,,

тогда решение разностной схемы (9)-(12) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (1)-(3) со скоростью , .

Рецензенты:  

Шхануков-Лафишев М. Х.,  д.ф.-м.н., профессор,ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления   Кабардино-Балкарского   научного центра РАН, г. Нальчик;

Ашабоков Б.А.,д.ф.-м.н., профессорВысокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.