В работе проводится исследование краевой задачи со свободными границами, описывающей динамику температурного поля при деструкции тканей плоскопараллельными аппликаторами. Рассмотрена задача криодеструкции, когда присутствует замороженная область и определению подлежат функция , и неизвестные границы . Для решения задачи в работе применяются методы нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, метод Ротэ, метод эквивалентной линеаризации, а также проведена конечномерная аппроксимация.

Получено точное аналитическое решение соответствующей стационарной задачи, которое определяет очень важные для хирурга максимальные размеры замораживания, криопоражения и теплового возмущения.

Конечномерной аппроксимацией решение полученной системы сведено к решению системы нелинейных алгебраических уравнений.

1. Постановка задачи

В различных областях медицины при деструкции тканей применяются достаточно протяженные плоские аппликаторы. Определение динамики температурного поля в этом случае сводится к решению следующей задачи со свободными границами для нелинейных эволюционных уравнений [1, 2, 6]:

(1)

(2)

(3)

В задаче (1)–(3) искомыми являются температурное поле и границы остальные параметры и функции известные, .

Аналитическое решение стационарной задачи (1)–(3) имеет вид [6]:

(4)

где

(5)

2. Задача криодеструкции биологической ткани

Если , то при будет возникать замороженная область биоткани . В этом случае метод Ротэ для задачи (1)–(3) приводит к системе краевых задач со свободными границами и :

(6)

(7)

. (8)

С помощью функций Грина и

(9)

определяемые как решение краевых задач:

(10)

В (9)

(11)

.

С помощью функций Грина (9) и формул Грина [3, 4]:

; (12)

(6)–(8) сводится к решению нелинейного интегрального уравнения типа Гаммерштейна, системе двух нелинейных уравнений относительно и и квадратуре:

(13)

(14)

Конечномерная аппроксимация уравнений (13), (14) позволяет свести задачу к нелинейной алгебре относительно узловых значений и чисел и .

Так как задача не содержит явно времени , то с определенной погрешностью в качестве ее приближенного решения можно принять:

(15)

где — решение задачи Коши:

(16)

Конечномерная аппроксимация квадратуры (14) и замена уравнений (16) разностными в данном случае приводят к системе нелинейных уравнений относительно узловых значений и чисел и :

(17)

где

(18)

Приближенное решение задачи (1)–(2) будем искать в виде соответствующего стационарного решения, считая и :

(19)

.

Краевые условия при выполняются автоматически. Дифференциальные уравнения и краевые условия удовлетворимы в смысле общих тепловых балансов с учетом условия сопряжения [4, 5]:

(20)

Полагая , после вычисления производных и интегралов для определения и приходим к задаче Коши:

(21)

Заменяя производные конечными разностями, получаем систему нелинейных уравнений относительно и на данном временном слое:

Приведенные алгоритмы получения приближенных решений реализованы на ЭВМ. Результаты численных расчетов сведены в таблицы.

Рецензенты:

Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН, г. Нальчик;

Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Институт, г. Нальчик.