Необходимость изучения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка связана с тем, что многие проблемы теории фильтрации жидкости во фрактальной среде, фильтрации жидкости в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин приводят к дифференциальным уравнениям дробного порядка. Дробные производные применяются при описании физических процессов стохастического переноса, изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов. Численным методам решения уравнения диффузии дробного порядка в многомерных областях посвящены работы [3, 8]. Задачи, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины, рассмотрены в [4]. В работе [7] построена локально-одномерная схема для многомерного уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью. В [2] рассмотрен случай многомерной задачи и построена локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка, когда на границах области по каждому направлению помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. УСТОЙЧИВОСТЬ

В области рассматривается краевая задача для обобщенного уравнения диффузии с сосредоточенной теплоемкостью вида:

, (1)

(2)

, , (3)

где коэффициенты удовлетворяют условиям ; ; ; , – регуляризованная производная дробного порядка [6].

Для доказательства устойчивости решения задачи (1)-(3) будем пользоваться методом энергетических неравенств. После умножения уравнения (1) скалярно на получаем энергетическое тождество:

, (4)

где , норма .

Для второго скалярного произведения в правой части (4), интегрируя по частям с учетом краевых условий (2), будем иметь:

. (5)

Используя лемму 1 ([1], стр. 152) и учитывая условия на коэффициенты и , из (5) получим:

.

Для третьего интеграла в энергетическом тождестве (4) с учетом условия запишем:

.

Последнее скалярное произведение в тождестве (4) оценим с помощью -неравенства. Для будем иметь:

.

С учетом полученных неравенств из (4) имеем:

. (6)

Интегрируя (6) по от 0 до , получаем:

.

Пренебрегая положительным интегралом, получаем неравенство:

. (7)

Обозначим в последнем неравенстве и потребуем, чтобы . Будем иметь:

. (8)

Применяя лемму 1 для нестационарных задач ([1], стр. 152), из последнего получим:

, (9)

где – положительная величина, зависящая от коэффициентов уравнения и размеров области . Из априорной оценки (9) следует устойчивость решения задачи (1)-(3) по входным данным задачи, а также его единственность.

2. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

В замкнутой области строится сетка , где – шаг сетки по переменной , – шаг сетки по переменной , , ; – число разбиений по переменной ; – число разбиений по переменной .

Для задачи (1)-(3) построена разностная схема:

(10) , (11)

, (12)

, , (13)

Здесь , , , , , , , , ,

– разностный аналог дробной производной , и в классе достаточно гладких функций справедливо равенство [9].

3. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

Для доказательства устойчивости разностной схемы (10)-(13) используем принцип максимума. Для этого схему приводим к каноническому виду [5]:

(14)

где – связная сетка; – окрестность узла , не содержащая самого узла . Для коэффициентов (14) должны выполняться условия:

(15)

Расписав (10) в индексной форме с учетом в точке получим:

. (16)

Сравнивая (16) с (14), видим:

, , .

Так как по условию , то

, , (17)

Здесь .

В точке , расписывая (11) в индексной форме, будем иметь:

. (18)

Ввиду условий ,, имеем:

, , . (19)

Аналогично, в точке для граничного условия (12) имеем:

. (20)

С учетом условий ,, имеем:

, , . (21)

Из неравенств (17), (19), (21) на основании теоремы 3 [5] для задачи (10)-(13) верна оценка:

, (22)

из которой следует устойчивость решения разностной схемы (10)-(13).

Рецензенты:

Шхануков-Лафишев М. Х., д.ф.-м.н., профессор ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН, г. Нальчик;

Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.