Нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений составляют широкий класс задач, теория которых интенсивно развивается на протяжении нескольких десятилетий [1-7]. Эти задачи представляют как теоретический интерес, так и обладают прикладной значимостью. Они применяются при моделировании процессов тепло- и массопереноса, описании проблем гидродинамики, решении инженерно-технических задач. В настоящей работе исследована нелокальная краевая задача для смешанного уравнения третьего порядка в характеристической области, которая обобщает результаты работ [8-10] и служит продолжением исследований, начатых в работах [11-13].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается уравнение

(1)

в конечной области , ограниченной отрезками , и прямых и соответственно, а также характеристиками и уравнения (1).

Пусть , ; , - аффиксы точек пересечений характеристик уравнения (1), выходящих из точки с характеристиками , соответственно.

Для уравнения (1) в области исследована следующая

Задача 1. Найти функцию , обладающую свойствами:

1. - регулярное решение уравнения (1) в , ;

2. ; ; ;

;

3. — удовлетворяет граничным условиям:

(2)

(3)

(4)

и условиям сопряжения

(5)

, (6)

где — внутренняя нормаль. Относительно коэффициентов уравнения (1) и заданных функций здесь и в дальнейшем предполагается, что

Под регулярным будем понимать решение уравнения (1), производные которого до порядка, входящего в уравнение, существуют и непрерывны в рассматриваемой области при .

Искомую функцию представим в виде:

Пусть

(7)

, (8)

тогда условия согласования примут вид

Воспользуемся тем, что любое регулярное решение уравнения (1) при представимо в виде:

,

где — регулярное решение уравнения

,

а — дважды непрерывно дифференцируемая функция, которую можно подчинить условию .

Решение уравнения (1) в представимо в виде [1]:

, (9)

где .

Подставив (9) в краевое условие (3), получим функциональное соотношение между и , принесенное из гиперболической части на линию в виде:

(10)

Переходя к пределу в уравнении (1) при , получим соотношение между и :

. (11)

На основании (7), (8) условия склеивания (5), (6) примут вид:

, (12)

. (13)

Пусть , тогда (10) представимо в виде:

, (14)

где , ,

.

Из (12), (13) и (14) найдем :

, (15)

где , ,

.

Подставляя из (15) в (11) и учитывая граничные условия (2), приходим к задаче для определения :

, (16)

(17)

где , .

2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 1

Пусть

.

Теорема. Если выполняются условия:

(18)

, (19)

тогда .

Доказательство. Рассмотрим интеграл

.

С учетом (14) получим:

.

После несложных преобразований этот интеграл можно переписать в виде:

. (20)

Из условий (18) заключаем, что

, ,

, .

Таким образом

. (*)

С другой стороны, из условий склеивания на основании (11) имеем:

.

После преобразований, получим:

. (21)

Из условия (19), заключаем, что

,

и, следовательно,

. (**)

Сравнивая (*) и (**), заключаем, что . Тогда

.

По схеме, предложенной в работе [2], доказывается, что в области .

3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 1

Интегрируем (16) три раза от 0 до , получим:

Откуда

Обозначая ,

, ,

перепишем последнее выражение в виде:

. (22)

Если обозначить через

,

будем иметь:

. (22’)

Обращая (22’) через резольвенту ядра , получим:

, (23)

или .

Откуда ,

где .

Продифференцировав (23), получим:

или ,

где .

Для определения воспользуемся третьим условием (17). Будем иметь:

.

Если обозначить через

,

,

то при условии, что , найдем :

и, следовательно, для определения неизвестного будем иметь следующую формулу:

.

После определения функций из формул (15), (12), (13) решение задачи 1 в области находится по формуле (9), а в области приходим к следующей задаче: (1), (2), , существование решения которой доказывается с помощью преобразований Лапласа.

Рецензенты:

Шхануков-Лафишев М. Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик;

Журтов А.Х., д.ф.-м.н., профессор кафедры ГиВА Кабардино-Балкарского государственного университета, г. Нальчик.