Для решения задач виброзащиты при проектировании и эксплуатации технологических машин и оборудования лесного комплекса существенным является построение математических моделей, отражающих зависимости параметров вибрации конструкций. В [4] рассматривается моделирование вибрации механической системы на примере массы фундамента, совершающей поступательные и поворотные перемещения в одной плоскости под воздействием установленного на ней однороторного машинного агрегата (рис. 1).

Рис. 1.

Система дифференциальных уравнений колебаний массы фундамента имеет вид:

 (1)

здесь  – частота вращения ротора,  – горизонтальное перемещение центра массы,  – поворотное перемещение массы,  – расстояние по вертикали от центра масс установки до оси вращения ротора,  – расстояние по вертикали от центра масс до центра тяжести опоры,  – радиус инерции массы фундамента,  – коэффициент, характеризующий меру уровня возбуждающих колебания сил инерции неуравновешенных масс ротора,  – собственные частоты парциальных колебаний фундамента: горизонтальных и поворотных,   – коэффициенты, соответствующие резонансу.

При разработке средств виброзащиты технологических машин одной из проблем математического моделирования является определение характера сил, воздействующих на фундамент при работе ротора, по измерениям наблюдаемых а также их скоростей  Упомянутые силы зависят от характеристики грунтов, влажности и, в конечном счете, от времени. В связи с этим возникает задача определения сил неупругих сопротивлений, зависящих от  и возникающих при взаимосвязи фундамента с грунтом. В цитируемой выше работе предполагалось, что указанные силы входят в систему линейно, что позволяло находить решение полученных уравнений в явном виде.

В работах [3; 5] А.В. Кряжимским и Ю.С. Осиповым был предложен метод динамической регуляризации, позволяющий в режиме реального времени моделировать приближение  неизвестного воздействия  в системе, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями:

 (2)

по результатам неточных измерений  состояний системы:  Здесь  – евклидова норма,  – узлы разбиения временного промежутка   – вектор-функция и – матрица-функция, отображающие  в  и в пространство матриц размерности соответственно,  – функция, обладающая минимальной нормой в L2[a,b] среди всех v(t), порождающих движение x(t). Считается известным, что – измеримая функция, со значениями из выпуклого компакта  отображения  и  удовлетворяют условию Липшица по совокупности переменных.

Упрощенная схема упомянутого алгоритма, а также его модификация и получение соответствующего ей асимптотического порядка точности в случае постоянства подпространства собственных векторов матрицы  рассматривались в [1]. Коротко остановимся на ее описании:

а) до начала работы алгоритма задаются положительные числа h, α=α(h), Δ=Δ(h),

  б) выбираются узлы ti ( ti+1 - ti = ∆) разбиения промежутка ;

  в) на каждом шаге алгоритма (на временном промежутке [ti, ti+1)) выполняются следующие действия:

 1) в момент ti проводят измерение xh(ti) состояния системы x(ti) так, что |xh(ti) - x(ti) | ≤ h;

2) определяется состояние в моменты ti системы – модели с начальным условием w(t0)=xh(t0), функционирующей на [ti, ti+1) по правилу

где vi – проекция на Q вектора

Таким образом, результатом работы алгоритма является построение приближения воздействия  в виде кусочно-постоянной функции v(t)=vi при  Если вычисление vi требует выполнения конечного числа арифметических операций, то при достаточном быстродействии вычислительного устройства формирование приближения v(t) может быть осуществлено в темпе реального времени. Поэтому рассматриваемый метод получил название конечношагового динамического алгоритма (к.д.а).

В работе [1] было показано, что при выборе Δ=h,  и достаточно большом значении  найдется положительная константа C такая, что  (– норма в пространстве L1[a,b]).

Для практических целей зачастую более удобной является возможность получения оценки на неограниченном временном промежутке в равномерной метрике. Такая возможность для рассматриваемого метода была доказана в работе [2].

Отметим, что замена ,  приводит (1) к системе вида

 (3)

которая, очевидно, является частным случаем (2). Метод динамической регуляризации, примененный к (3), позволяет по измерениям и восстановить характер неупругой силы – . Ниже для модельного примера на рисунке 2(а) продемонстрирована зависимость восстановленного с помощью описанного выше метода воздействия  от времени , на рисунке 2(б) – зависимость  от :

Рис. 2.

Результаты моделирования процесса показывают, что воздействующие силы носят существенно нелинейный характер в отличие от того, как это предполагалось первоначально. Таким образом, метод динамической регуляризации позволяет уточнять рассматриваемые математические модели, что позволяет более адекватно описывать изучаемые процессы.

Рецензенты:

Старжинский В.Н., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой ФГБОУ ВПО «Уральский государственный университет», г. Екатеринбург.

Часовских В.П., д.т.н., профессор, декан факультета экономики и управления ФГБОУ ВПО «Уральский государственный университет», г. Екатеринбург.