Введение

Существует ряд прикладных задач, где требуется управлять объектом в положении неустойчивого равновесия [1]. Оценку эффективности предлагаемых решений часто проводят по результатам решения классической задачи механики и теории управления, заключающейся в приведении двухзвенного маятника из произвольного начального положения в произвольное неуравновешенное состояние и удержания ее там. Это связано с тем, что уравнение состояния такой динамической системы представляет собой упрощенную модель механического двухзвенного манипулятора робота с безредукторными приводами и абсолютно жесткими элементами конструкции. Управление таким объектом осуществляется за счет изменения вращающих моментов в шарнирах устройства.

Их решение достигается как классическими методами, базирующимися на принципе максимума Л. С. Понтрягина [9] или методе динамического программирования Р. Беллмана [4], так и основанными, к примеру, на концепции обратных задач динамики, функциях Ляпунова, идее декомпозиции [1, 7]. Однако недостатком первых является то, что решение задачи синтеза для нелинейных систем получено только для частных случаев. Для второй группы методов, как правило, характерно введение различного рода упрощений и ограничений [1, 7].

Работы [2, 3, 5, 6] показывают, что использование механико-математического приема, названного объединенный принцип максимума, позволяет получить оптимальные, конструктивные, достаточно просто реализуемые на практике решения. Полученные в работе управления определены с точностью до синтезирующей функции. Для ее построения в статье предлагается использовать метод анализа поверхности переключения в фазовом пространстве переменных Лагранжа, где обобщенная сила меняет знак и выполняется условие постоянства обобщенного кинетического потенциала.

Проведенное математическое моделирование показало высокую эффективность использования объединенного принципа максимума, заключающуюся в повышении точности расчетов, уменьшении сложности процедуры синтеза и вычислительных затрат в сравнении с классическими [5, 7, 9].

Постановка задачи. Движение управляемой системы подчиняется принципу Гамильтона – Остроградского, согласно которому обращается в нуль величина [8]:

, . (1)

Целевой функционал представлен следующим выражением:

(2)

где – обобщенные координаты и скорости, – определенно-положительная функция, – кинетическая энергия, – элементарная работа обобщенных сил, зависящих от управлений, .

Из принципа (1) следуют уравнения Лагранжа второго рода:

. (3)

Требуется определить такие управления или , которые переводят систему (3) из начального состояния в конечное , при условии минимума целевого функционала (2).

Объединенный принцип максимума. Теорема [5, 6]. Условие экстремума (2) определяет максимум функции обобщенной мощности:

. (4)

где – фиктивная сила, зависящая от формы целевого функционала, при этом , а на концах траектории выполняются условия трансверсальности для функции Гамильтона – Остроградского и обобщенного кинетического потенциала:

, (5)

. (6)

Основные элементы доказательства. Использование техники асинхронного и игольчатого варьирования к расширенному функционалу (2) приводится к условиям трансверсальности (5), (6) и асинхронной вариации функционала для произвольной обобщенной силы :

. (7)

Из сравнения (7) и асинхронной вариации , полученной для , при , , , , , , следует выражение второй вариации функционала:

. (8)

При предельном переходе: , , , , , получаем:

. (9)

Если обобщенная сила выбрана так, что неравенство выполняется для любых , то из (9) вытекает теорема объединенного принципа максимума (4). Из (4) следует, что обобщенные силы с точностью до синтезирующей функции находятся из выражения:

, (10)

которое определяет в фазовом пространстве гиперповерхности переключения управления.

Построение синтезирующей функции на основе метода представления траектории в фазовом пространстве. Так как гиперповерхности переключения обобщенная сила равна нулю, условия трансверсальности (6) преобразуются в условие постоянства обобщенного кинетического потенциала в данный момент времени:

. (11)

Это уравнение представляет собой поверхность гиперболического параболоида в фазовом пространстве переменных Лагранжа .

Преобразование Лежандра функции по переменным есть функция Гамильтона (5), представляющая поверхность эллипсоида в переменных Гамильтона :

, (12)

в которой величины выражены через , при помощи уравнений:

(13)

для обобщенных импульсов, при этом преобразовании величины играют роль параметров. – алгебраическое дополнение элемента гессиана кинетического потенциала:

. (14)

На поверхности эллипсоида переключения управления канонические уравнения Гамильтона имеют вид:

, (15)

так как кинетический потенциал системы на поверхности:

. (16)

Синтезирующая функция записывается в следующем виде [6]:

, (17)

имеющая смысл углового коэффициента касательной к траектории на поверхности переключения.

Пример. Рассмотрим двойной механический маятник [2, 3] (рисунок 1).

 

Выбор в качестве обобщенных координат углов и позволяет записать кинетическую и потенциальную энергию такой системы в следующей форме:

, (18)

, (19)

тогда уравнения Лагранжа второго рода (3) принимают вид:

(20)

где – ускорение свободного падения; , – массы стержней; , – длины стержней.

Требуется синтезировать законы ограниченных управлений таких, что двойной маятник можно перевести из произвольного начального положения: в произвольное неуравновешенное состояние , и управлять заданным движением относительно этого нового положения уравновешенности [8].

Функционал качества управления имеет вид:

. (21)

Оптимальные решения для кусочно-постоянных управлений полученные методом объединенного принципа максимума имеют вид [5, 6]:

, (22)

, (23)

где . Достигнутые значения целевого функционала составили и соответственно.

Оптимальное решение в классе кусочно-непрерывных управлений, полученное методом объединенного принципа максимума, записывается в следующей форме:

. (24)

Здесь ; ; ; ; ; Достигнутое значение целевого функционала . Результаты математического моделирования приведены на рисунках 2–3.

На рис. 2 показаны фазовые портреты: линия 1 – решение в классе кусочно-непрерывных управлений; линия 2 – решение в классе кусочно-постоянных управлений.

На рис. 3 показана структура ограниченного измеряемого управления. Достигнутое значение целевого функционала . При неограниченном росте параметра ограничения значение целевого функционала сколь угодно мало .

 

 

На рис. 4 показаны в сравнении: синтезируемый закон управления – линия 1, точное значение закона управления – точки 2; опрокидывающая сила в уравновешенном состоянии – линия 3; изменения опрокидывающей силы при колебаниях – линия 4.

Выводы

Новый метод синтеза оптимального управления двойным маятником в неуравновешенном конечном состоянии с использованием синтезирующей функции по предлагаемому методу обладает универсальностью и простотой. Его применение для класса кусочно-непрерывных и кусочно-постоянных управлений и обеспечивает высокую точность расчетов, требует меньших вычислительных затрат в сравнении с известными решениями.

Исследование проведено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14В37.21.2067

Рецензенты:

Звездина Марина Юрьевна, доктор физико-математических наук, доцент, заведующая кафедрой «Радиоэлектроника», Минобрнауки России, Ростовский технологический институт сервиса и туризма (филиал) Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса», г. Ростов-на-Дону.

Риполь-Сарагосси Татьяна Леонидовна, доктор технических наук, профессор, заместитель директора по дополнительному образованию, Минобрнауки России, Филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет технологий и управления» в г. Ростове-на-Дону, г. Ростов-на-Дону.