Сегодня все более широкое применение находит математическое моделирование различных процессов. Построение модели и получение по ней достоверных результатов становится одной из самых актуальных задач. В связи с этим важной является проблема обеспечения высокого качества результатов экономического исследования, одной из сторон которой является точность используемых в моделировании данных по отношению к фактическим величинам. Случайные ошибки в их измерении, не принимаемые во внимание традиционными методами, в сочетании с естественной случайной ошибкой модели, могут оказывать существенное влияние на результат моделирования. В связи с необходимостью ограничивать множество значений участвующих в анализе или исследуемых переменных появляется риск выйти за допустимые значения переменных в результате накопления таких ошибок. Значит, при моделировании необходимо учитывать такой риск.

Ранее, в работах [3-5], описанная проблема рассматривалась в условиях использования в качестве рассматриваемой модели сначала однофакторной, затем многофакторной линейной регрессионной зависимости, а также в предположении, что случайные ошибки имеют нормальное распределение. Однако в общем случае эти предположения не обязательны.

В данной работе расширен предложенный в [3-5] метод количественного описания риска, возникающего при моделировании с переменными, имеющими критические значения, на случай модели произвольного вида, а также на случай распределенных по различным законам распределения случайных ошибок.

Пусть имеет место некоторый смоделированный процесс , зависящий от : . При описании эконометрической зависимости между указанными переменными будем считать, что существует случайная ошибка модели. Тогда модель процесса примет вид: . Кроме того, с учетом некоторых внутренних и внешних факторов, выделим фактическое значение , отличающееся от измеренного значения на некоторую величину : . Тогда с использованием модели процесса будет иметь вид:

(1)

Оценочная величина определится следующим образом:

(2)

Предположим, что имеется некоторая допустимая область, внутри которой должны находиться фактические значения . Примерами ситуаций, в которых появляется такая область, являются, например, следующие: 1) множество, на котором возможно использование построенной модели, ограниченно; 2) имеются некоторые критические значения моделируемой величины, возникающие в силу сущности изучаемых явлений; 3) фиксация момента выхода за границы некоторого рубежного множества. Обозначим такую область через . Из-за возникновения в процессе использования модели описанной ранее величины выделяется множество , отличное от .

В зависимости от взаимного расположения , и относительно допустимых множеств можно выделить несколько ситуаций. Случай определим как событие . Если выполняется включение , то имеет место событие . Если эти включения не выполняются, то будем считать, что происходят события соответственно.

Так как при использовании модели следует рассматривать все допустимые области, всегда будет иметь место какое-нибудь сочетание событий указанных двух групп.

Полученные комбинации ситуаций можно условно разделить на две группы: безопасные, то есть дающие однозначную, верную информацию, и опасные, подразумевающие ошибочные выводы. К первой группе относятся события и . Ко второй группе, в силу двойственности информации, следует отнести и .

Безопасные ситуации не влекут за собой получение недостоверных результатов, так как в этом случае всегда можно проверить работу модели. Таким образом, риск, возникающий при применении зависимости , будем понимать как вероятность наступления событий и .

Вероятность наступления одного из них можно вычислить, используя подход, описанный в [2].

Приведем вывод выражения для вычисления вероятности наступления события.

, (3)

где - совместная плотность распределения отклонений .

Аналогично находятся вероятности остальных событий. Ввиду того что вероятность , как правило, оказывается очень малой, вероятность ошибочного решения можно найти как .

В работе [3-5] рассматривался случай, при котором все учитываемые при вычислении риска отклонения имели нормальное распределение. Однако в общем случае это предположение может не выполняться. Проанализируем, какой вид примет формула (3) в результате работы с различными распределениями ошибок.

В работе [6] рассматриваются различные законы распределения, которым могут подчиняться случайные ошибки. Адаптируем некоторые выкладки из нее для нашего случая. Результаты представлены в таблице 1.

Таблица 1

Таким образом, в каждом из представленных случаев, в виде подынтегральной функции будет выступать совместная функция плотности распределений, совпадающая с одной из представленных в таблице 1.

Рассмотрим теперь подсчет вероятности ошибочных выводов при сочетании ошибок, имеющих разные законы распределения.

Пусть и имеют лапласовское распределение на бесконечных интервалах. Тогда формула 3 примет вид:

В отличие от рассмотренного ранее в работах [3-5] случая, когда все учитываемые в модели ошибки распределены по нормальному закону и интеграл приходится вычислять приблизительно с помощью численных методов, в этом случае можно получить точное значение интеграла:

Таким образом, предложенный ранее в работах [3-5] метод количественной оценки риска, возникающего при моделировании с переменными, имеющими пороговые значения, распространен на случай моделей общего вида. Изучены случаи, в которых случайные ошибки, участвующие в анализе риска, имеют отличное от нормального распределения. Установлено, что предлагаемый метод подходит и для анализа таких ситуаций. Кроме того, показано, что при некоторых вариантах распределений ошибок возможно вычисление точного значения целевого интеграла. С другой стороны, естественно, имеются варианты, в которых необходимо использовать численные методы и с их помощью находить приблизительное значение риска.

Рецензенты:

Елохова И.В., д. э. н., профессор, заведующий кафедрой управления финансами Пермского национального исследовательского университета, г. Пермь.

Перский Ю.К., д.э.н., профессор кафедры менеджмента и маркетинга Пермского национального исследовательского университета, г. Пермь.