Прибли­жен­ное уравнение можно рассматривать как некоторое уравнение (основное) с точными числами (роль которых играют ос­новные числа соответствующих приближенных чисел) при наличии некоторой дополнительной информации о степени неопределенности самого урав­нения (его решений; сводится к заданию абсолютных погрешностей приближенных чисел).

Решается основное уравнение; участвующие в его записи чис­ла в процессе решения считаются точными. Погрешности же этих чисел учитываются только для определения погрешности корня и максимальной погрешности округления, допустимой в процессе вычислений.

Участвующие в записи уравнения приближенные числа варьируются в преде­лах их погрешностей. Тогда каждый из корней уравнения (с изме­ня­ющимися параметрами) описывает некоторое замкнутое множество. Модуль разности между переменным корнем, описывающим это множество, и корнем основного уравнения будет изменяться от нуля (когда переменное уравнение совпадет с основным) до некоторого наибольшего значения. Это наибольшее значение модуля разности даст безусловную погрешность. Абсолютная величина разности (между найденным и ближайшим к нему точным решениями основного уравнения) определяют услов­ную погрешность (зависит от вычислителя: он при желании может сделать ее как угодно малой). Сумма безусловной и условной погрешностей корня даст полную погрешность корня.

Если заданное прибли­же­ние уравнения имеет вид

то основное уравнение имеет вид

- неизвестное; - заданные приближенные числа.

В окрестности каждого однократного корня x0 определяет x как неявную функцию от . Справедливо

Если погрешности достаточно малы, то это со­от­ношение можно использовать для определения безусловной по­грешности корня x0:

В частности, для алгебраического уравнения

получаем:

Если все коэффициенты заданы с одинаковой абсолютной по­греш­ностью e, то

.

Как уже отмечалось, решение при­бли­жен­ного уравнения сводится к приближенному решению основного урав­нения. После того как ориентировочно найдена величина одного из кор­ней, вычисляется безусловная погрешность этого корня. Ориентируясь на требуемую величину условной погрешности результата, можно определить точность, с которой следует вести вычисления. Потерей точности будет отношение условной абсолютной погрешности к абсолютной погрешности округления, если вычис­ле­ния ведутся с одинаковым порядком последней значащей цифры, и от­но­шение соответствующих относительных погрешностей, если вы­чис­ления ведутся с постоянным числом значащих цифр. После определения корня для контроля вычисляется условная погрешность (до бесконечно малых второго по­рядка для однократного корня).

Отметим, определение условной погрешности корня x0 , не пре­во­с­ходящей его безусловной погрешности, может быть произведена и без вычисления самих погрешностей по формуле

В частности, для алгебраического уравнения, коэффициенты ко­то­рого заданы с одинаковой погрешностью e, справедливо

Например, для квадратного уравнения

или

(приближенное деление коэффициентов уравнения на 1,274) получим

.

Безусловные погрешности корней:

Чтобы условная погрешность не пре­вос­хо­дила безусловной, x1 следует вычислить с точ­нос­тью до тысячных, а x2 – до стотысячных;

.

Так как здесь определяются одновременно оба корня, то вы­чис­ления следует вести с таким расчетом, чтобы результат получился с пя­тью верными знаками после запятой. С этой целью добавляются дополнительные значащие цифры 00 в числе 12,362 и цифра 0 – в числе 1,2741. Потеря точности в дан­ном случае невелика (так как производятся всего четыре округ­ле­ния), так что в промежуточных операциях достаточно сохранить пять десятичных знаков:

Отметим, что вычисления, произведенные без запасных зна­ча­щих цифр, дали бы неверное значение . Это под­тверж­дает правильность сделанного ранее замечания о том, что погреш­ности заданных чисел следует учитывать лишь при определении безусловной погрешности корня. После этого при решении урав­не­ния заданные числа нужно считать точными (то есть решить основ­ное уравнение). Погрешностями участвующих в вычислениях чисел считаются только погрешности округления.

Для иллюстрации рассмотрим декомпозицию динамической системы [3; 5-7], характеристики которого приняты в соответствии с таблицей 2.1 [10] для случая М=0,9; H=12 км.

Продольное движение. Характеристический многочлен системы имеет вид

.

Заменой переменной получим многочлен

Действительных корней у многочлена нет. В соответствии с [10] при приближенных вычислениях воспользуемся таблицей значений функций

Таким образом, без построения графиков и с точностью до 0,002 можно принять;

Откуда

Боковое движение. Вычислив коэффициенты характеристического многочлена по таблице 2.2 [10], получим

или

.

Построив графики функций , убеждаемся, что все корни многочлена действительные (рис. 1).

Рис. 1. К декомпозиции бокового движения.

Соответственно

В уравнении

имеем:

Пользуясь таблицей значений и , находим решение уравнения , соответственно , .

Декомпозиция полинома представится в виде

С точностью до 10-2 получатся те же корни и соответственно .

Рассмотренный подход успешно использовался и при идентификации параметров кинетических процессов формирования физико-механических характеристик полидисперсных материалов [2; 4; 8; 9].

Рецензенты:

Кошев А.Н., д.т.н., профессор, профессор кафедры «Информационно-вычислительные системы», ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства», г. Пенза.

Логанина В.И., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Управление качеством и технологии строительного производства», ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства», г. Пенза.