Как известно, ортонормированная система Хаара была применена во многих исследованиях по теории вложения классов функций [2-3], к примеру, вложения классов , где - заданный модуль гладкости общего вида, исследования по которому начались из работ П.Л. Ульянова [8], а затем имели определенные развития (см., напр., в [1], [2-3], [5-7]).

Данные исследования тесно связаны с цифровой обработкой сигнала, а именно, с преобразованием непрерывного сигнала в дискретный, т.е. рекуррентным соотношением в некотором ортогональном базисе [4], а именно, данную ортонормированную систему функций следует преобразовать сохраняя ортогональность, затем можно принять в качестве импульса сигнала, исследуя влияние введенного параметра при разложении непрерывного сигнала в виде суммы дискретных функций.

В данной работе, система Хаара, в определенном смысле, обобщается, а именно, вводится некоторый параметр , доказывается ортонормированность введенной системы и и исследуется влияние данного параметра в разложении некоторой (степенной) функции в ряд по определенной системе, причем устанавливается условие на введенный параметр. Дальнейшим продолжением теоретических исследований, предполагается исследования по разложению сигналов не степенного вида, а функции из класса .

Работа состоит из двух разделов. В первом разделе определяется система типа Хаара и доказывается ортонормированность. Во втором разделе определяются коэффициенты разложения степенной функции по ортогональной системе функций.

1 Ортонормированная система типа Хаара

Определение. Пусть даны числа и целое . Систему функций , определенную в виде

назовем системой типа Хаара.

Замечание. Данная система определена по аналогии определения системы Хаара.

Справедлива

Теорема 1. Пусть даны число и целое . Тогда определенная на сегменте система типа вида (, и )

(1)

является ортонормированной системой функций.

Доказательство. Покажем нормированность системы, т.е. справедливость

. (2)

Пусть и . Тогда

. (3)

Действительно, при и , имеем

.

Теперь, при и , получим

,

тем самым, (3) доказано. Дя любого докажем соотношение (2). В самом деле, для

,

будем иметь

,

т.е. соотношение (2) доказано.

Теперь покажем ортогональность системы при . Для этого достаточно показать справедливость

. (4)

Действительно, по определению функций, произведение функций равно нулю, а именно, справедливо

,

поэтому,

.

Отсюда, теорема для случая доказана. Рассмотрим следующий случай.

Пусть , и . Сначала, предположим . Тогда, если

,

то

. (5)

Отсюда

.

Из последнего равенства

.

Для случая

,

справедливо

. (6)

Тогда

.

Из данного равенства получим

.

Если . и , то

,

а при

.

Поэтому, для случаев , и , а вместе с ними и для

.

Пусть , . В этом случае, можно повторить рассуждения, приведенные выше.

Теорема 1 доказана полностью.

2 Разложение функции по ортонормированной системе функций

Рассмотрим некоторое простое приложение введенной ортонормированной системы функций для практического разложения функции. Имеет место

Теорема 2. Пусть даны числа , и целое . Для функции на промежутке имеет место следующее

, (7)

где,

,

.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай , . Определим коэффициенты разложения следующим образом

.

Таким образом, при ,

и

.

При , , имеем

.

Отсюда, при ,

и

.

Таким образом, коэффициенты разложения будут иметь вид

и

.

Теорема 2 доказана полностью.

Рецензенты:

Адамов А.А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Математического и компьютерного моделирования» ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, г.Астана;

Тусупов Ж.А., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Информационные системы» ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, г.Астана.

Лубенцов В.Ф., д.т.н., профессор, зам.директора по научной работе, профессор кафедры «Информационные системы, Электропривод и автоматика», Невинномысский технологический институт ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет», г.Невинномысск.