В современной педагогической и методической литературе по математике сколько-нибудь целостного описания тематических образовательных Web-квестов по математике пока ещё не представлено. Хотя имеются отдельные указания на возможности и некоторые особенности их использования при обучении математике. В частности, С.Ф. Катержина при разработке информационных образовательных ресурсов по высшей математике для студентов технических вузов учебные материалы, состоящих из базы знаний, конспектов лекций, презентаций и др. предлагает компоновать их по тематическому принципу, к каждой основной теме или разделу изучаемого курса.
Анализируя различные описания и дефиниции Web-квестов, имеющиеся в педагогической и методической литературе с учётом особенностей процесса формирования познавательной самостоятельности школьников при обучении математике, остановимся на определении Web-квеста, близкого к данному Е.И. Багузиной [5].
И под тематическим образовательным Web-квестом будем понимать такой Web-квест, который имеет информационный контент, определяющийся содержанием учебной темы, целями и задачами её изучения, и предполагает выполнение учащимися учебно-познавательных заданий по поиску и отбору информации с использованием Интернет-ресурсов, способствующих систематизации и обобщению изученного материала, его обогащению и представлению в виде целостной системы. При обучении математике в основной школе считаем целесообразной игровую форму выполнения Web-квестовых заданий при ролевом самоопределении учащихся.
К основным компонентам информационного контента тематического образовательного Web-квеста по математике относятся: теория, приложения, проблемы, архивы и ошибки; базирующиеся на отдельных поисково-познавательных заданиях [3].
Исходя из особенностей содержания учебного материала школьных учебников, целей и задач обобщающе-систематизирующего этапа изучения учебной темы и опыта работы учителей математики по развитию познавательной самостоятельности школьников следует, что содержание информационного контента тематического образовательного Web-квеста по математике должно включать такие компоненты, как: <Теория> (теоретический материал), <Приложения> (практический материал), <Проблемы> (исследовательские задания), <Архивы> (исторические сведения и справки), <Ошибки> (возможные ошибки и заблуждения).
Заметим, что основным наполнением указанных компонентов Web-квеста являются поисково-познавательные задания, содержательная специфика которых должна отвечать совокупности определённых требований:
- в целевом плане главной задачей, решение которой позволяют обеспечивать тематические образовательные Web-квесты по математике, является развитие познавательной самостоятельности школьников. Сопутствующими задачами будут: развитие интереса учащихся к занятиям математикой, формирование навыков пользования образовательными Интернет-ресурсами, формирование навыков виртуальной коммуникации и др.;
- в дидактическом плане выполнение заданий тематических образовательных Web-квестов по математике подчинено требованиям обогащения изученных знаний, их обобщения, установления внутри- и межпредметных связей в изученном материале, его визуального представления, схематизации, структуризации и т.п.;
- в структурном отношении задания тематических образовательных Web-квестов по математике должны удовлетворять требованиям подчинённости общей цели, единой логики следования в различных компонентах информационного контента, лексической идентичности формулировок и т.п.;
- с точки зрения обеспечения необходимого характера мыслительной деятельности на задания тематических образовательных Web-квестов по математике важно наложить требования поисково-собирательной направленности, сочетания репродуктивной и творческой деятельности их продуктивности [5].
Совершенствование его методического наполнения связано, в первую очередь, с расширением видов заданий и специализированных задачных конструкций. Более эффективной реализации целей обобщения и систематизации знаний учащихся по учебной теме соответствуют такие задачные конструкции как окрестности обобщенных математических задач.
Основные идеи, определяющие букеты окрестностей математических задач, в современной методической науке и практике обучения математике, чаще всего, связаны с формированием окрестности той или иной задачи по методу или способу решения, по сюжету, по дидактической направленности (подчинению решению одной и той же учебной задачи) и др. [4, 6]. Однако наибольшим развивающим потенциалом в практике обучения школьников будут обладать окрестности обобщенных математических задач, поскольку их использование позволит развивать у учащихся первичные навыки поисковой, творческой, а в некоторых случаях, и исследовательской деятельности (обобщающего характера); формировать у них более высокий уровень мышления (обобщенного, теоретического), и, вместе с тем, повышать познавательный интерес к изучению математики, в целом. При построении окрестностей обобщенных математических задач необходимо учитывать особенности процесса обобщения, его специфику как философской, психологической и педагогической категории, разнообразие видов математических задач, их структуру, существующие возможности для их обобщения [1].
Следует говорить о таких возможных стратегиях получения окрестностей обобщенных математических задач, которые связаны с обобщением условия и требования исходной задачи; в большей степени получение такой окрестности обеспечивается реализацией трех основных направлений обобщения условия (абстрагирования от принятых буквенных обозначений, числовых значений заданных величин и некоторых свойств входящих в условие понятий) и четырех их возможных комбинаций, а также трех направлений обобщения требования математической задачи расширение исходного требования (например, увеличение количества искомых); изменение формулировки (принципиально иное, обобщенное требование); включение в требование описания обобщенного приема решения выделенного типа задач.
Рассмотренный выше процесс обобщения математической задачи составляет основу для построения окрестности обобщенных математических задач, использование которых в обучении математике может способствовать повышению уровня математической подготовки школьников, их математического развития и совершенствования всего педагогического процесса.
В целом, обобщение математической задачи основывается на обобщении двух ее основных элементов - условия и заключения, каждый из которых имеет семь направлений обобщения и определяет три соответствующих уровня обобщения математической задачи (первичное; расширенное и полное). Этим уровням можно поставить в соответствие окрестность обобщенных математических задач: первичный уровень определит первую (ближайшую) ее область; расширенный - вторую (среднюю), а полный - третью (максимальную); совокупность же всех этих областей и представляет собой окрестность обобщенных математических задач.
Применяя полученную модель для построения окрестности обобщенных математических задач, нужно: выделить базисную математическую задачу (например, ключевую задачу по теме), определить возможности обобщения таких основных ее элементов, как условие и заключение, провести первичное обобщение условия и заключения, на основе сочетания первичных направлений, получить обобщенные задачи первой (ближайшей) области; а затем, соединяя несколько направлений (в частности, по два) обобщения задачи, перейти ко второй (средней) области; дальнейшее сочетание всех направлений обобщения условия и заключения математической задачи позволяет получить третью (максимальную) область обобщения, в результате выполнения всех этих шагов можно получить окрестность обобщенных математических задач.
Более полное и эффективное использование окрестности обобщенных математических задач (в частности, средней ее области) может способствовать обобщению материала всей изученной темы (при условии, что базис решения этих задач остается в рамках изучаемого материала) на уроках обобщения и систематизации знаний, умений и навыков учащихся. Например, при изучении темы «Прогрессии» в 9 классе в качестве базисной задачи на уроке обобщения и систематизации учащимся можно предложить следующую: «Найдите сумму членов арифметической прогрессии с третьего по девятый, если а1 = 3 и d = - 1». Обобщение ее условия по первому из указанных выше направлений приводит к формулировке обобщенной задачи 1: «Найдите сумму членов арифметической прогрессии с третьего по девятый, если ее первый член равен 3, а разность прогрессии составляет - 1». При осуществлении второго направления обобщения условия получаем обобщенную задачу 2: «Найдите сумму членов арифметической прогрессии с 3-го по 9-ый, если а1 = а и d = х». Если же абстрагироваться от свойства прогрессии быть арифметической (т.е. осуществить третье направление обобщения условия), то можно сформулировать обобщенную задачу 3: «Найдите сумму членов прогрессии с третьего по девятый, если а1 = 3 и d = - 1». В этой задаче уже придется рассматривать две прогрессии: арифметическую и геометрическую, понимая под а1 их первый член, а d сначала принимая за разность арифметической прогрессии, а затем за знаменатель геометрической. Обобщение требования через его дополнение может привести к формулировке, например, такой обобщенной задачи 4: «Найдите сумму членов арифметической прогрессии с третьего по девятый, если а1 = 3 и d = -1. Найдите также сумму 10 ее первых членов». Обобщенная формулировка требования исходной задачи может быть, в частности, следующей (обобщенная задача 5): «Найдите сумму членов арифметической прогрессии с п-го по (п + k)-ый, если а1 = 3 и d = -1». Включение в заключение задачи требования нахождения обобщенного приема решения такого рода задач приводит к еще одной (шестой) обобщенной задаче. Для составления средней области окрестности обобщенных задач исходной, как было показано выше, нужно сочетать различные направления обобщения ее условия и требования. Таким образом можно получить например следующие обобщенные задачи (средней области):
1. Найдите сумму членов прогрессии с 3-го по 9-ый, если а1 = а и d = х (в этой задаче выполнены два направления обобщения условия задачи - абстрагирование от числовых значений и свойства прогрессии быть арифметической);
2. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с третьего по девятый, если а1 = а и d = х. Найдите также сумму 10 ее первых членов (в этой формулировке выполнено обобщение условия задачи через абстрагирование от числовых данных и дополнено требование задачи);
3. Найдите сумму членов прогрессии с п-го по (п + k)-ый, если а1 = 3 и d = - 1. Сформулируйте обобщенный прием решения таких задач (в такой формулировке выполнено обобщение условия через абстрагирование от свойства прогрессии быть арифметической и заключения по двум направлениям - обобщение формулировки и дополнение требованием поиска обобщенного приема решения) и др.
Такая окрестность может составить основу наполнения информационного контента тематического образовательного Web-квеста по математике, а именно такого его компонента, как приложения [2]. Кроме того, построение окрестности обобщенных математических задач несет в себе черты исследовательской деятельности. Этот процесс может также стать частью проектных заданий, определяющих наполнение одной из наиболее важных составляющих тематического образовательного Web-квеста - проблемы. Рассмотренные окрестности обобщенных математических задач существенно расширят возможности тематических образовательных Web-квестов по математике, поскольку предоставят учащимся эффективно реализовать индивидуальные образовательные траектории.
Статья подготовлена по проекту №2954 «Видовое многообразие задачных конструкций продуктивного обучения математике» в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России.
Рецензенты:
Фролов И.В., д.п.н., профессор, заведующий кафедрой физико-математического образования Арзамасского филиала ННГУ, г. Арзамас;
Вострокнутов И.Е., д.п.н., профессор кафедры физико-математического образования Арзамасского филиала ННГУ, г. Арзамас.