Задача минимаксного (робастного) оценивания обычно возникает при получении измерений от промышленно-действующего объекта. В этом случае возникают аномальные измерения (выбросы), которые появляются, как правило, при включении/выключении сварочного оборудования, функционировании мощных электроприборов и т.д. Минимаксное оценивания (фильтрация) – это сглаживание «выбросов» по каким либо правилам. Простейшими примерами робастных алгоритмов при обработке измерений являются их усреднение с помощью медианы, отбрасывание крайних членов вариационного ряда измерений при их упорядочивании и затем их усреднение, использование при оценивании плотностей с «тяжелыми хвостами» и т.д.

            В настоящее время в основном усилиями российских ученых создана теория минимаксного (гарантированного) оценивания, результаты которой успешно внедрены при обработке телеметрической информации от космических аппаратов, при реализации информационных систем в различного рода управляющих комплексах и на других объектах [1,3,4].

            Согласно этой теории в простейшем случае полагается, что модули компонент ошибок линейной модели являются ограниченными четкими числами. Далее показывается, что минимаксная ошибка оценок параметров модели, которые находятся с помощью несмещенного алгоритма оценивания, определяется путем решения соответствующей четкой задачи линейного программирования. В этой же теории рассматриваются более сложные модели ошибок, которые приводят к различным задачам нелинейного математического программирования относительно параметров алгоритма оценивания.

            Ниже рассматривается нечеткий аналог различных задач минимаксного оценивания, в которых предполагается, что ошибки возмущений являются нечеткими переменными. Это позволяет синтезировать нечеткий алгоритм робастного оценивания, который на наш взгляд более адекватно учитывает возмущения на промышленно-действующих системах.

            1.предварительные сведения [6-8]

            Ниже рассматриваются некоторые положения теории нечетких множеств, которые далее будут использованы для разработки общей модели нечетких возмущений и затем для синтеза простейшего алгоритма нечеткого оценивания, реализуемого в виде нечеткой задачи линейного программирования.

         1.1. Нечеткое число определяется как отображение , где  – функция принадлежностей. Из-за отсутствия взаимной однозначности выделяются «левая»  и «правая»  ветви относительно , каждая из которых определяет уже взаимно однозначное отображение. В теории нечетких множеств используется эквивалентная уровневая форма представления нечеткого числа, задаваемая в виде обратного отображения .Для отображения  выделяются «нижняя»  и «верхняя»  ветви.

            Таким образом, для нечетного числа  используется цепочка эквивалентных представлений:

            Относительно  должны выполняться следующие свойства:

(i)            функция  полунепрерывна сверху;

(ii)          функция  монотонно возрастает;

(iii)        функция  монотонно убывает.

(iv)       

            Кроме этого для  должно выполняться условие . Если  имеет треугольную форму, то перечисленные свойства выполняются для остроугольного треугольника, поэтому не каждый тупоугольный треугольник может изображать нечеткое число.

            Обычно применяется обозначение:

Арифметические операции («+», «-», «х», «÷») для нечетких чисел хн и ун определяется соотношением:
                           (1)

            Операции сравнения «≥», «≤» следует из определения [8]: имеем нечеткие числатакие, что    тогдаесли :

Совокупность нечетких чисел образует банахово пространство [4].

            В теории нечетких множеств помимо общего определения нечеткого числа, которое приведено выше, часто в теоретических исследованиях используются треугольные нечеткие числа [6]. Они имеют функцию принадлежностей «r» в виде треугольника с острыми углами в его основании. Этому соответствует тройка чисел а1<а2<а3, где основание supp r =[а1, а3], а координата высоты (ядро) core r=а2. Для нечеткого числа N(x), х∈R1 с треугольной формой принято обозначение N(x)=(а1/а2/а3). Различают следующие типы N(x): если а1>0, то N(x)>0; если а1≥0, то N(x)≥0; если а3<0, то N(x)<0; если а3≤0, то N(x)≤0.

          1.2. Нечеткая функция  определяется как отображение , где  - совокупность функций принадлежностей . Это отображение параметризуется относительно r и может быть представлено в виде [8]:

            По аналогии с (1) для нечеткой функции  вводится критерий:

            Имеют место следующие утверждения:

¾           нечеткая функция  монотонно возрастает (убывает), если для любых  и  выполняется:   

¾           нечеткая функция  непрерывна для , если  непрерывна;

          1.3. Нечеткая производная интеграл [6,8]. Арифметическая операция «сложения» задается в соответствии с принципом обобщения по (1), а операция «вычитания» путем введения «обратного» элемента в соответствующем нечетком векторном пространстве. Предельный переход, который появляется при вычислении нечеткой производной, определяется в смысле сходимости по метрике в нечетком векторном пространстве:

- нечеткая функция  дифференцируема, если   дифференцируема; производная от нечеткой функции  равна

- нечеткая функция  интегрируема по Риману, если  интегрируема; интеграл от нечеткой функции  равен

              Приведенные утверждения показывают, что нетрудно сконструировать нечеткие аналоги основных структур классического математического анализа: максимум (минимум) нечеткой функции, нечеткие точки перегиба, нечеткие дифференциалы, касательные и т.д.

              ЗАМЕЧАНИЕ [6]. В теории нечетких дифференциальных уравнений введенную выше нечеткую производную принято называть GVD-Goetschel/Voxman derivative. Помимо этой производной существуют другие типы нечетких производных:

¾           производная SD-Seikkala derivative;

¾           производная DPD-Dubois/Prade derivative;

¾           производная PRD-Puri/Ralescu derivative;

¾           производная KFMD-Kandel/Friedman/Ming derivative;

¾           другие более абстрактные производные.

            Все эти перечисленные нечеткие производные отличаются между собой используемой метрикой и применяются для разрешения нечеткой начальной задачи, а также для решения простейших нечетких дифференциальных уравнений в частных производных. Взаимосвязь перечисленных нечетких производных следует из следующих утверждений для нечетких производных :

¾    если ;

¾    если ;

¾    если ;

¾    если .

            Далее будем использовать . Для простоты обозначений верхний индекс GV будем опускать и соответствующую нечеткую производную будем обозначать .

         1.4. Нечеткие случайные величины [7]. Тройка () определяет нечеткое вероятностное пространство, где -пространство элементарных нечетких случайных событий, Вн- борелевская нечеткая алгебра; Рн- вероятностная мера на борелевской нечеткой алгебре. Пространство  –совокупность нечетких случайных событий с функцией принадлежностей ri∈[0,1], которые могут появиться в результате нечеткого эксперимента Эн. Здесь wнi – неразложимый нечеткий исход Эн. Нечеткая алгебра  , где -нечеткое случайное событие (), Т,S-нормы в Ан, «-» нечеткое отрицание. В нечеткой алгебре Ан операции не фиксируются, а перечисляются лишь их свойства, поэтому существует бесчисленное число нечетких алгебр {Ан}. Задавая операции Т, S, «-» по заде для из {Ан} выделяют «борелевскую» нечеткую алгебру. Отображение Р:А→R1 со свойствами (i) 0≤Р(Анi)≤1; (ii)  (iii) . Имеет место совокупность формул нечетких вероятностей. 

              Нечеткая случайная величина  определяется путем отображения

. Функция распределения определяется в виде:Математическое ожидание определяется как:, где -нечеткое случайное событие; -нечеткая вероятность появления Анi. Очевидно, что является нечетким множеством.

              В совокупности {} с заданными операциями «сложения» и «умножения» на число «к» [8] вводится метрика Хаусдорфа (х):

 Здесь приняты обозначения:  - верхняя и нижняя полуметрики Хаусдорфа соответственно;- верхняя и нижняя ветви соответственно уровнего представления  функции принадлежностей нечеткого множества - ковариация между  и . Непосредственно из определения  следует:- дисперсия нечеткой случайной величины , которая является четким числом. Расчеты показывают, что в пространстве имеем : – которое является четким числом.

          1.5. Нечеткие линейные системы [5]. Нечеткая система линейных уравнений (nxn) имеет вид:

где матрица (n x n) из четких  элементов; -нечеткие переменные ().

              Две четкие (n x n) линейные системы для всех «i» называются расширенной (2n x 2n) четкой линейной системой, если:

-;

-  .

              Другими словами  и используя матричное (2n x 2n) обозначение имеем:

,

              Теорема 2.4.1. Для существования и единственности решения  расширенной системы  необходимо и достаточно, чтобы , т.е. -неотрицательная матрица.

              Теорема 2.4.2. Для того, чтобы матрица S была не вырождена необходимо и достаточно, чтобы (s1-s2) и  (s1+s2) обе матрицы были не вырождены.

              Если все компоненты нечеткого вектора  являются нечеткими треугольными числами, то решение системы  принято называть «сильным». В противном случае после соответствующих замен [5] решение  называют «слабым» решением.

2. Нечеткая модель ошибок

          Пусть имеем:

          Здесь приняты следующие обозначения:  – нечеткий вектор измерений; – четкая вектор-функция;-нечеткий вектор параметров;  четкий вектор базисных функций;  – нечеткие векторы ошибок для Yн, Rн;– нечеткий вектор ошибок; – нечеткая случайная составляющая ошибок;  – нечеткая систематическая составляющая ошибок; α – вектор мешающих параметров.

Решение (2) относительно Ан дает вектор нечетких оценок :

.

          ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если выполнено:

,

то Ф определяет нечеткий несмещенный алгоритм оценивания. Найдем выражение для компонент нечеткого вектора ошибок . Будем полагать, что вектор α мал относительно α=0. Так как  нечеткая систематическая ошибка, поэтому тейлоровское приближение относительно α=0 дает:

откуда:

поэтому:

          Аналогично полагая, что  зависят от вектора мешающих параметров , который мал относительно , будем иметь в результате тейлоровских приближений:

;                                                         (5)

.                                                     (6)

         Для нечеткого вектора  оценок имеем:

        Полагаем, что алгоритм оценивания не смещен, поэтому:

       Таким образом для нечеткой ошибки   получим:

– нечеткий вектор ошибки для (2), (3), где – вектор нечеткой случайной ошибки при измерении (2),  – вектор нечеткой ошибки при измерении (2);  – нечеткий вектор ошибки в задании F; – нечеткий вектор ошибки в задании  G.

          Рассмотрим характеристики  нечеткого случайного вектора , где E, D – операторы математического ожидания и дисперсии соответственно,  – плотность хн. Обычно рассматривают следующие типы моделей:

1.      Плотность  задана;

2.      Плотность  неизвестна;

3.      Плотность  задана;

4.      Плотность неизвестна;

          При  модель 1 обычно рассматривается в традиционной теории вероятностей и математической статистике. Модель 2 при   традиционно реализуется в теории четкого робастного оценивания. Модели 3, 4 возникают при модификации известных алгоритмов минимаксного оценивания в их нечеткие аналоги.

           Ниже рассматривается простейший алгоритм нечеткого минимаксного оценивания в виде эквивалентного решения задачи четкого линейного программирования.

3. Постановка задачи

          Пусть (2) задано в виде простейшей нечеткой линейной модели:

,                                                            (7)

где  – нечеткий (нижний индекс «н») вектор неизвестных параметров; – заданный четкий вектор базисных функций, вид которых известен;  – нечеткая ошибка (помеха).

При  имеем:

                                                                    (8)

где – нечеткий вектор измерений модели процесса (2);  – матрица , составленная из базисных функций в моменты времени – нечеткий вектор ошибок измерений.

Простейшие модели (7), (8).

Пример 1.  – модель (7);

– модель (8).

Пример 2.  –  модель (7);

 – модель (8).

Пример 3.  –модель (7);

 – модель (8).

            Задача нечеткого робастного оценивания состоит в нахождении четких весовых коэффициентов  для нечетких измерений  из условия эффективности заданного критерия (3) и несмещенности алгоритма оценивания.

            Конкретизируем (3). Для этого в отсутствии систематической ошибки  задаем ее в виде линейной зависимости:

где  – заданные четкие числа. Для линейного относительно нечетких измерений  алгоритма нахождения нечеткой оценки  параметра  имеем:

где  – четкие весовые коэффициенты нечетких измерений . Ищем такой алгоритм оценивания, т.е.  , который был бы несмещенным . Это приводит после преобразований к условиям:

, откуда после приравнивания коэффициентов при  получим:

.            (10)

        Задается моделью 4 для ошибок:

,                  (11)

где  – модуль (длина) нечеткой переменной  в нечетком вероятностном пространстве;  – заданные четкие числа;  – нечеткий коэффициент корреляции. Находим max  и max . Для этого находим :

          Таким образом, для несмещенного алгоритма (10) имеем:

поэтому для математического ожидания Е получим:

 

откуда:

          Для дисперсии D по аналогии имеем:

       Элемент  дисперсионной матрицы  равен:

поэтому с учетом   после преобразования получим [3]:

Определим составной критерий :

тогда после подстановки вычисленных ранее max EХн и max DХн получим:

поэтому задача нечеткого минимаксного оценивания имеет вид:

           Эта задача относительно  является задачей нелинейного программирования и обычно решается численным методом.

        В частном случае при  имеем:

        Ниже будем рассматривать решение (10).

4. Метод решения

          Для простоты рассмотрим решение (10) и покажем, что путем соответствующей замены, она может быть преобразована к соответствующей задаче линейного программирования [1]. Совокупность элементов  в общем случае может не удовлетворять условию , которое требуется в типовой задаче линейного программирования. Совокупность  разбивается на две группы: положительных и отрицательных величин. Для них вводиться замена переменных:

Эти группы переменных дополняются нулями для получения полных строк:

В результате получим векторное соотношение  и кроме того, |,. Таким образом (10) преобразуется к виду:

при условии:

1.     

2.     

3.     

В [4] доказано, что условие 3 выполняется всегда, поэтому его можно исключить. После очередных замен получим:

Это приводит к стандартной задаче линейного программирования:

           ЗАМЕЧАНИЕ. В (11) рассматривалась модель ошибок, в которой вводилась переменная Из постановки задачи следует, что  – нечеткая переменная, а из п.2.4. очевидно, что  также является нечеткой переменной, поэтому  это расстояние вектора  в нечетком векторном пространстве случайных переменных до начала координат в смысле введенной нормы в этом пространстве. Это означает, что | является четким числом, а задача (13) это задача четкого линейного программирования, которая решается стандартными методами, например¸ симплекс-методом.

          5. Пример

           Пусть в результате решения четкой задачи линейного программирования при N=2 – число измерений и m=2 – число условий несмещенность алгоритма оценивания (10) было получено  где  – четкие числа с функциями принадлежностей . Тогда нечеткий алгоритм оценивания будет иметь вид:

где  – текущие нечеткие числа с треугольными функциями принадлежностей , которые заданы в форме (п.2.1.):

где   – основание нечетких чисел;  – координаты высот нечетких чисел; .

Найдем функцию принадлежностей  оценки . В соответствии с принципом расширения для арифметических операций умножения и сложения нечетких чисел получим [7]:

;

,

откуда

.

          Из определения треугольного нечеткого числа следует, что для него должно выполняться неравенство:

                                                                                                                               (14)

поэтому:

.

         В результате простейших преобразований получим:

где 

. Например, пусть ;  тогда неравенства (15) выполняются, поэтому приведенные соотношения характеризуют нечеткую «сильную» оценку , т.к. при этом справедливо (14).

          В противном случае, например, из (15) получим: 1≥2, т.е. неравенство не выполняется. Этому будет соответствовать в (14)  или , что противоречит определению треугольного нечеткого числа. После соответствующих замен в (14) или  получим  или , которые характеризуют нечеткую «слабую» оценку .

          Результаты, полученные выше, легко обобщаются на случаи N=3, 4 и т.д. и значительным числом условий несмещенности.

Выводы

1. Разработана нечеткая модель ошибок, которая появляется при измерении выхода объекта, ошибках модельной зависимости и алгоритме оценивания.

2. Сформулирована общая задача по нечеткому минимаксному оцениванию в виде задачи нечеткого нелинейного программирования.

3. В отсутствии информации относительно элементов дисперсионной матрицы в общей модели ошибок производится редукция задачи нечеткого нелинейного программирования к задаче нечеткого линейного программирования.

4. Показано, что для нечеткого вероятностного пространства с метрикой Хаусдорфа, задача нечеткого линейного программирования легко модифицируется в задачу четкого линейного программирования.

5. Рассмотрен простейший пример синтеза «сильного/слабого» нечеткого минимаксного алгоритма оценивания.

Рецензенты:

Девеев А.И., д.т.н., профессор, зав. сектором вычислительного Центра Российской Академии наук (ВЦ РАН) им.А.А. Дородницына, г. Москва;                                    

Воронов Е.М., д.т.н., профессор, государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва.