Рассмотрим роботизированную платформу, предназначенную для защиты технологических объектов, а также человека-оператора от низкочастотных воздействий со стороны основания. При этом поставим обратную робототехническую задачу: при любых случайных воздействиях со стороны подвижного основания построить такой закон управления приводным механизмом, при котором объект (платформа) является неподвижным в инерциальной системе координат. При этом необходимо рассмотреть вопросы выбора схем и конструкций приводов и типа датчиков, а также синтеза системы управления.

В качестве привода будем рассматривать электромеханический исполнительный механизм (рис.1), который является наиболее простым по своему конструктивному исполнению и эксплуатационным характеристикам.[1] Кроме того, он обеспечивает большие относительные перемещения, порядка десятка сантиметров и возможность эксплуатации в неблагоприятных средах. Частотный диапазон работы определяется, главным образом, частотным диапазоном используемого электродвигателя. В качестве датчиков обратных связей используем акселерометры, установленные на объекте и основании, и датчик относительного перемещения.[2]

Рис. 1. Система с электромеханическим исполнительным механизмом с шарико-винтовой парой: 1 — электродвигатель; 2 — шарико-винтовая пара; 3 — объект виброзащиты; 4 — датчик тока; 5 — датчик скорости; 6 — датчик положения; 7 — регулятор;

8 — усилитель мощности.

Построим математическую модель привода. В винтовой шариковой паре модель передачи скоростей и момента описывается уравнениями:

; (1)

где - шаг резьбы, - число заходов резьбы, - скорость вращения якоря двигателя, - перемещение основания[3]

Рассмотрим двухфазный шаговый электродвигатель с активным неявнополюсным ротором. Примем за начало отсчета угла положение, при котором ось полюса ротора совпадает с осью фазы 1. При этом

; ; ; ; ;

Запишем уравнения напряжений и момента

; (2)

; (3)

; (4)

; (5)

где - момент нагрузки, - момент инерции ротора двигателя, - ток, сопротивление и напряжение 1-й фазы двигателя, - ток, сопротивление и напряжение 2-й фазы двигателя, - угол между осью полюсов и вектором н. с., - число пар полюсов, - максимальное потокосцепление возбужденного ротора с одной фазой статора, - коэффициент взаимоиндукции, - угловая скорость

Из уравнений 1- 5 получена система уравнений

,

,

, (6)

,

Упростим уравнения (6), приняв угол близким к нулю (при этом , а ), а затем приведем их к виду, характерному для уравнений, описывающих систему в пространстве состояний, приняв

,

,

,

, (7)

.

Введем 4 переменные состояния: , , и . Система уравнений (7) примет вид

,

,

, (8)

.

или в векторно-матричной форме

;

(9)

,

где - вектор состояния, - вектор возмущающего воздействия, и - матрицы коэффициентов системы, - вектор входных сигналов, - коэффициент входных сигналов, - вектор-строка входных сигналов.

Исследование динамических свойств исполнительного механизма при дискретном входном сигнале

Работа шагового двигателя осуществляется в результате подачи на вход импульсов напряжения. В связи с этим переведём первое уравнение системы уравнений 9 в дискретную форму. В результате получим

;

(12)

,

где ; ;

(13)

В матричном уравнении (12) символы , , и обозначают аналоги матриц , , C и D для дискретной системы, а символ введён для обозначения периода дискретизации. Ввиду большой сложности математических выкладок представляется нецелесообразным выводить общий вид матриц , , и . Удобнее рассчитывать матрицы , , и в числовом виде для каждой конкретной четверки матриц , , C и D.

Перейдём к передаточной функции, описывающей влияние напряжений на якоре на скорость поступательного движения механизма

(14)

где - переходная матрица состояния.

Из уравнения (14) может быть выражена передаточная функция, описывающая влияние напряжений на якоре на угловую скорость вращения вала двигателя

(15)

Исходя из требований, предъявляемых к системе, и рекомендаций по расчёту винтовой шариковой передачи, составим таблицу исходных технических данных для расчёта винтовой шариковой передачи (табл.1).

В качестве примера рассмотрим шаговый электродвигатель FL20STH, имеющий следующие технические характеристики (табл. 2).

Таблица 1

Исходные технические данные для расчета винтовой шариковой передачи

Таблица 2

Технические данные шагового двигателя FL20STH

После проведения соответствующих вычислений получаем передаточную функцию

(16)

Для нашей системы (12) найдем управление

(17)

которое минимизирует[4]

(18)

Введем во второе уравнение системы (12) управление u. Сделано это для ограничения величины используемого управления, т.к. в противном случае можно добиться сколь угодно маленького значения J с помощью достаточно больших u. Система (12) примет вид

;

(19)

,

Как известно

, (20)

где – передаточная функция замкнутой системы от возмущения ω к выходу y, т.е. минимизация J эквивалентна задаче H∞-оптимизации.[5]

Преобразуем предварительно

(21)

Предположим для простоты выкладок, что , тогда смешанное произведение отсутствует

(22)

где

(23)

Таким образом задача записывается так

, , , (24)

, где (25)

Если неравенство

(26)

имеет решение P>0, то J≤γ2.

Умножим неравенство (20) слева и справа на Q=P-1

(27)

и сделаем замену

(28)

Преобразуем члены, зависящие от Y

(29)

причем равенство достигается при .

Неравенство (23) выполняется при некоторых Q>0, Y тогда и только тогда, когда выполняется неравенство относительно Q>0

(30)

В свою очередь он имеет положительно-определенное решение Q>0, если такое решение имеет уравнение Рикатти, полученное заменой неравенства на равенство. По этому решению восстанавливаем соответствующий стабилизирующий регулятор

(31)

Матрицы , и D уравнения (12) для такой системы будут следующими:

, ,

Перейдя к дискретной задаче, приняв период дискретизации с, получим следующие матрицы , , уравнения (12):

,,,,

Установим следующие значения весовых коэффициентов:

,

После выполнения процедуры нахождения коэффициентов обратных связей оптимального регулятора была получена матрица коэффициентов обратных связей

K = [0,0984; 0; 0,0001; 0,0001]

Рис. 2. Структурная схема системы виброзащиты с электромеханическим исполнительным механизмом: ШД – шаговый двигатель, ШВП – шарико-винтовая передача.

Выводы

Перспективным будет применение шагового двигателя. Позиционирование шаговым двигателем выполняется без проскальзывания и перерегулирования, также отсутствует зона нечувствительности. Отметим, что выбор или разработка электродвигателя для применения в подобных система требует специального исследования и поиска оптимальных решений с учётом развития техники.

Исследования реакции на внешнее возмущение показали высокую эффективность выбранной схемы электромеханического привода и алгоритма управления, а также пути дальнейших исследований и усовершенствований системы.

Рецензены:

Погонин А.А., д.т.н., профессор кафедры технологии машиностроения ФГБОУ ВПО Белгородского государственного технологического университета, г. Белгород;

Пелипенко Н.А., д.т.н., профессор Белгородского государственного национального исследовательского университета, г. Белгород.