В настоящее время наиболее актуальной задачей при построении систем массового обслуживания в различных областях человеческой деятельности является достижение высокой эффективности функционирования системы при ограниченных ресурсах системы. В данном случае каждая такая система характеризуется следующими особенностями: потоком требований, дисциплиной и функцией распределения длительности обслуживания, очередью. Характеристикой работы данной системы будет являться: оценки вероятностей потерь, длины очереди, ожидания заявки в системе и т.п. Для достижения оптимального функционирования системы в теории массового обслуживания необходим «системный подход», полное и комплексное рассмотрение всех последствий каждого решения.[2] Таким образом, возникает задача нахождения таких параметров системы, при котором достигались бы оптимальные значения основных характеристик работы СМО.

В настоящей работе представлен выбор оптимальной стратегии управления распределением заявок (с точки зрения наименьшего значения предельной очереди в системе) с заданием интенсивностей обслуживания в многоканальной системе массового обслуживания с пуассоновским потоком поступления заявок и экспоненциальным временем обслуживания. Сравниваются три случая распределения заявок на обслуживающие устройства в момент времени t при разных интенсивностях поступления и обслуживания заявок. А именно: равномерное распределение заявок, распределение заявок с наименьшей очередью и распределение заявок на устройство с наименьшим значением произведения интенсивности обслуживания в единицу времени и очереди. Решение задачи представлено методами имитационного стохастического моделирования, включающими формальное построение математической модели, её алгоритмизация, численное нахождение критериев оценки работы СМО.

Математическая модель системы массового обслуживания с роутером и двумя обслуживающими устройствами.

Построим математическую модель для многоканальной СМО с роутером и двумя обслуживающими устройствами в терминах точечных процессов [1]:

Пусть процесс - точечный считающий процесс числа поступивших в -ю систему заявок. - число заявок в очереди, ожидающих своего обслуживания в момент времени . - точечный процесс, описывающий число обслуженных заявок. Тогда основное балансовое уравнение для -ой системы запишется в виде:

(1)

где - число заявок для -го сервера в начальный момент времени , , .

Схематическая модель многоканальной СМО с роутером выглядит следующим образом:

Рис. 1 Общая схема модели СМО

1. Основной поток - пуассоновский процесс с компенсатором вида:

(2)

где - интенсивность поступления заявок.

2. Процессы характеризуют работу роутера:

(3.1)

(3.2)

где , - индикаторные функции, которые могут быть представлены одним из следующих вариантов:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

3. - потоки обслуженных заявок с компенсаторами вида:

(5)

где - интенсивность обслуживания заявок.

Эксперимент

Пусть , - интенсивности обслуживания 1-го и 2-го устройств соответственно. Введём,

(6)

Представим значение как отношение суммы предельных очередей для 1-го и 2-го устройств для типа распределения (4.1) и (4.2), тогда

(7)

где

(8)

Аналогично введём

, (9)

Построим при фиксированном значении графики функций в зависимости от .

Шаг:

, (10)

Где , - количество точек.

Эксперимент 1

Рис.2. Графики и в зависимости от .

Рис.3. Графики и в зависимости от .

Рис.4. Графики и в зависимости от .

Эксперимент 2

Рис. 5. Графики и в зависимости от .

Заключение

1. Модель роутера (4.1) эффективна при отсутствии очереди на приборах (интенсивность прихода заявки в систему ниже общей интенсивности обслуживания). Причём минимальное значение достигается при .

2. Модели роутера (4.2), (4.3) эффективны при (Интенсивность прихода заявки выше общей интенсивности обслуживания). Причём максимальные значения , достигаются при .

Рецензенты:

Мищенко С.П., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск;

Андреев А.С., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск.