Функция физических свойств материала, в плоскости Oxy, является 2-периодической; плоскость можно представить состоящей из множества одинаковых прямоугольников – ячеек (рис. 1,2). Макросвойства - механические свойства однородного макроматериала эквивалентного композитному периодическому материалу.

Рис. 1. Материал, армированный

Постановка задачи

На конструкцию, изготовленную из материала, армированного периодической решеткой (рис. 1.), действует некоторая система нагрузок.

В каждой точке конструкции выполняются уравнения равновесия:

(1)

где - объемные силы, а - напряжения, определяющиеся по закону Гука для анизотропной среды:

(2)

где - тензор упругости, который внутри каждой упругой среды непрерывно меняется, а на границах сред претерпевает скачки. Уравнения (1)-(2) обезразмерены по правилам:

(3)

(4)

где - размер ячейки, - характерный размер тела.

На границе перехода от одной упругой среды к другой непрерывны перемещения и контактные напряжения:

, , (5)

где - контактные напряжения, которые по определению вычисляются по следующей формуле

Рис. 2. Периодическая ячейка

. (6)

Заданы граничные условия.

В ячейке вводится локальная система координат , координатные оси параллельны осям глобальной системы координат (рис. 2).

Асимптотическое приближение решения краевой задачи (1)-(6) в соответствии с работой 1 имеет вид при условии :

, (7)

, (8)

здесь - номер асимптотического приближения, - решение для тела, состоящего, из макроматериала, - периодическая компонента решения (ячейковые перемещения), - ячейковые напряжения, - вектор, определяемый таким образом:

(9)

Для определения макрохарактеристик необходимо найти периодическую компоненту решения. Ячейковые перемещения определяются решением девять краевых задач, для :

(10)

закон упругости на ячейке –

11)

условия непрерывности ячейковых функций внутри ячейки на границе различных сред –

(12)

условие периодичности ячейковых функций –

(13)

условие нормировки решения –

(14)

где - интеграл от какой-то величины по ячейковым переменным, взятый по всей ячейке, усреднение этой величины по ячейке:

(15)

Решением девяти краевых задач (10)-(13) являются восемнадцать ячейковых перемещений , для них выполняются равенства:

(16)

То есть, необходимо решить не девять, а шесть краевых задач (10)-(13).

Из решений краевых задач (10)-(13) вычисляются макрохарактеристики материала (обозначение – волнистая верхняя черта) по формуле:

(17)

Выведение формул для макрохарактеристик в случае 3-периодической композитной среды приведено в работе [3].

Результаты

Построены зависимости упругих свойств макроматериала от коэффициента армирования для композитных материалов армированных решетками двух форм: тетрагональной (рис. 3а) и гексагональной (рис. 3б). Свойства материалов: модуль Юнга связующего 40 МПа, коэффициент Пуассона связующего 0.35, модуль Юнга решетки 393 МПа, коэффициент Пуассона 0.4. Что примерно соответствует структуре грунт-георешётка.

Эти зависимости представлены на рисунках 5-10. Значения макросвойств армированного грунта получены по формуле (17), ячейковые функции получены решением краевых задач (10)-(13) методом конечных элементов.

Коэффициент армирования (КА) – отношение площади сечения решетки к общей площади ячейки.

, (18)

- площадь сечения решетки, - площадь ячейки. Площадь сечения решетки изменяется варьированием толщины d.

В работах [1], [2] приведены аналогичные зависимости для материалов, армированных волокнами. В таблице 1 представлен расчет макросвойств для композитного материала армированного тетрагональной решеткой при КА = 0.009975. В первом столбце макросвойства рассчитаны по формулам из статьи [3], во втором по формулам из статьи [4]. В третьем, макросвойства рассчитаны числено, методом ячейковых функций из данной статьи. Четвертый столбец – среднее арифметическое свойств материалов, входящих в состав композита.

Рис. 3. Типы армирующих решеток: а) тетрагональная, б) гексагональная.

Рис. 4. Зависимость механических макросвойств от коэффициента армирования: а) Модуль Юнга , б) Коэффициент Пуассона , в) Коэффициент Пуассона , г) Коэффициент Пуассона , д) Модуль сдвига , е) Модуль сдвига .

Таблица 1

Механические макросвойства, рассчитанные различными методами, при коэффициенте армирования 0.009975

Заключение

Из графиков на рис. 4 видно, что макросвойства композита зависят от коэффициента армирования не линейно. Функции зависимостей для материалов, армированных решетками разной формы, различаются существенно.

Различие модулей Юнга в плоскости Oxy макроматериалов, для двух форм решеток, терагональной и гексагональной, при одном и том же коэффициенте армирования, достигает 20% (рис. 4а). Различие коэффициентов Пуассона достигает 30% (рис. 4б). Коэффициенты Пуассона и модули сдвига для обоих типов решеток практически совпадают (рис. 4в, 4д). Различие коэффициентов Пуассона достигает 48% (рис. 4г). Различие модулей сдвигадостигает 24% (рис. 4д).

Из таблицы (1) вино, что макросвойства композитного материала, армированного тетрагональной сеткой, с коэффициентом армирования 0.009975, рассчитанные при помощи различных методов, отличаются от среднего арифметического свойств материалов входящих состав композита не существенно (7% для ). Следовательно, в данном случае, т.е. в случае примера, взятого из работ [3], [4], для получения истинных макросвойств композита достаточно вычисления среднего арифметического свойств материалов, входящих в его состав, без решения каких-либо вспомогательных задач, возникающих в рамках используемой модели.

Рецензенты:

Острейковский В.А., д.т.н., профессор кафедры информатики и вычислительной техники СурГУ, ГБОУ ВПО Сургутский государственный университет ХМАО – Югры, г. Сургут.

Нехорошев В.П., д.т.н., профессор кафедры химии СурГУ, ГБОУ ВПО Сургутский государственный университет ХМАО – Югры, г. Сургут.