Обеспеченность предприятия основными фондами в необходимом количестве и ассортименте является одним из важнейших факторов повышения эффективности производства.
На сегодняшний день многие предприятия страдают от износа собственных средств, его уровень достигает 45-65%.
Рассмотрим линейную модель динамики уровня основных средств с равномерным начислением амортизации.
(1)
где 
- уровень (объем) основных средств в момент времени 
, 
- интенсивность ввода реальных валовых инвестиций в основные средства в момент времени , 
- норма выбытия (износа, амортизации), 
- неконтролируемое возмущение, 
- целая часть действительного числа
.
Эта модель позволяет решить эту проблему, с помощью грамотного распределения валовых инвестиций и амортизации. Так же в модели учтено запаздывание, которое всегда возникает в реальной жизни.
Позже вводиться импульсное управление, оно помогает нам построить прогноз с учетом различных скачков экономики.
Введем следующие обозначения:
Тогда модель примет вид:
(2)
В качестве показателя функционирования модели рассмотрим интегральный объем основных средств.
(3)
В общем виде краевое условие выглядит следующим образом:
получаем 
Пусть 
, 
. Тогда будем рассматривать следующую краевую задачу:
(4)
(5)
В соответствии с утверждением (1) подберем функцию 
такую, что 
Пусть имеет вид: 
или
.
Краевую задачу можно свести к интегральному уравнению на основе утверждения (1) из теории краевых задач:
(6)
где 
Краевая задача однозначно разрешима и её решение имеет представление:
(7)
где 
.
Применим «
- подстановку»(7)к уравнению (4) :
где 
Тогда из (8) получаем:
или
(9)
На рисунках (1) – (2) представлен вид функций 
,
.
: :
Представим каждую из функций 
, в виде суммы произведений двух функций, одна из которых зависит только от
, а другая – только от 
.
.
Т.к. на промежутке 
- 
.
.
Запишем ядро уравнения (8). Оно будет состоять из двух частей – точной и приближенной.
)
Пусть 
тогда 
(10)
Умножим обе части (10) на 
и проинтегрируем от 0 до 3:
Введем следующие обозначения:
Тогда (11) примет вид: 
(13)
Если матрица
, 
, где 
(13.1)
имеет обратную матрицу 
, то уравнение (9) имеет единственное решение 
:
или
,
где
. (13.2)
Таким образом, краевая задача (1), (3) однозначно разрешима.
Известно, что при естественных предположениях относительно ядра 
для любого заданного 
вырожденное ядро 
можно определить следующим образом:
. (13.2)
Пусть 
- матрица 
, определенная равенством (13.2) и построенная по функциям 
, 
, 
- обратима и . Если выполнено неравенство
,
где
, (14)
а функция 
определена равенством (14), то уравнение (9) с ядром , удовлетворяющим неравенству (16), имеет единственное решение.
Таким образом, доказана теорема:
Теорема 2.
Пусть матрица - обратима и выполнено неравенство , где 
определено равенством (15). Тогда краевая задача (1),(3) однозначно разрешима, причем ее решение имеет представление
,
с точностью
,
и, кроме того,
.
Для уравнения введем импульсное управление
(15)
где 
- дифференцируемая функция, а функция 
имеет вид
Здесь 
, 
– постоянные, 
- так называемая характеристическая функция отрезка 
:
Функция является ступенчатой.
.
Подставим 
:
или
Подставим 
уравнение (6):
Проинтегрируем обе части уравнения
Проинтегрируем обе части равенства от 0 до 3 и находим импульсное управление:
После нахождения импульсного управления в специальных программах, таких как Maple, оно подставляется в уравнение (15). Благодаря этому мы можем решить поставленную задачу.
Рецензенты:
Ёлохова И.В., д.э.н., профессор кафедры экономики и финансов ФГБОУ ВПО "Пермский национальный исследовательский политехнический университет", г. Пермь;
Цаплин А.И. д.т.н., профессор кафедры общей физики ФГБОУ ВПО "Пермский национальный исследовательский политехнический университет", г. Пермь.