Развитие пенсионной системы, основной компонентой которой является обязательное пенсионное страхование, представляет собой ключевую гарантию общества. В связи с увеличением совокупного объема средств пенсионных накоплений, переданных в доверительное управление уполномоченным институтам; нестабильностью финансового рынка и т.п. возникает необходимость развития альтернативных методик и моделей инвестирования средств пенсионных накоплений, которые позволили бы повысить эффективность накопительной компоненты пенсионной системы России. В данной работе авторами предложена модель формирования инвестиционного портфеля пенсионных накоплений с линейным критерием качества и получено ее решение. Предложенная модель проверена на реальных данных.

Постановка задачи

Рассмотрим портфель, состоящий из рисковых активов и безрисковых активов. Обозначим объемы вложений в момент времени в рисковые активы (), а в безрисковые активы – ().

Задача управления заключается в перераспределении капитала между включенными в портфель активами таким образом, чтобы сформированный портфель следовал капиталу эталонного инвестиционного портфеля на горизонте управления .

Стоимость инвестиционного портфеля в момент времени равна

. (1)

Заметим, что доля вложения в -й рисковый актив в момент времени равна , а в безрисковый актив .

Динамику капитала рисковой части инвестиционного портфеля в дискретном времени можно описать уравнением [1]

(2)

Здесь – капитал, вкладываемый в покупку рискового актива () либо вырученный от продажи рискового актива (); – среднее значение ставки -й рисковой ценной бумаги; – случайная составляющая ставки рисковой ценной бумаги с параметрами , где – матрица ковариации доходностей рисковых ценных активов; – ставка -го безрискового актива. Безрисковая часть портфеля в работе [1] представлена одним активом.

В отличие от работы [1] безрисковый актив мы представляем в виде подпортфеля. Кроме того, предполагаем, что рыночная ставка доходности безрисковых ценных бумаг может изменяться мгновенно для всех периодов на одну и ту же величину. Это обстоятельство приводит к необходимости иммунизации безрискового подпортфеля.

Динамику капитала безрисковой части инвестиционного портфеля в дискретном времени будем описывать уравнением

(3)

Уравнение эталонного портфеля определим уравнением:

(4)

где - заданная ставка эталонного портфеля, .

Введем векторы и . Тогда уравнения (2), (3) и (4) можно переписать в виде

, (5)

где ; – диагональные матрицы размерности с элементами

(6)

Матрица размерности имеет структуру

. (7)

В качестве целевой функции выберем линейный функционал

, (8)

где .

Используя , перепишем в форме , где . Критерий качества примет вид

. (9)

Итак, имеем задачу оптимального управления, в которой уравнение состояния описывается многошаговым процессом (5), а функционал качества – выражением (9). Управление задается вектором . Задача решается при ограничении или

. (10)

Ограничение, связанное с запретом продажи без покрытия, имеет вид

. (11)

В терминах ограничение (7) имеет вид

, (12)

где – матрица диагональная размерности с единичными элементами на главной диагонали и нулевой последней строкой.

Введем ограничения на объёмы вложений в ценные бумаги, определяемые законодательством [5; 6]

(13)

Здесь– максимально допустимый объем вложений в ценные бумаги; – ограничение на объем вложений в рисковые ценные бумаги.

Перепишем эти ограничения в терминах , получим

(14)

где ;

– диагональная матрица размерности с элементами:

Для иммунизации подпортфеля безрисковых ценных бумаг введем ограничение

, (15)

где – дюрация -й безрисковой ценной бумаги.

Перепишем (15) через

, (16)

где ­ диагональная матрица размерности с элементами:

Для решения задачи слежения необходимо задать начальное состояние системы . Стоимость эталонного портфеля в начальный момент времени считаем известной . В качестве используем решение задачи [3]

, (17)

(18)

где – желаемая доходность портфеля; – дюрация безрисковой ценной бумаги.

Итак, сформулируем окончательно задачу управления портфелем.

, (19)

, (20)

(21)

. (22)

Решение задачи

Имеем линейную задачу динамического программирования. Ее можно решать методом Беллмана. Однако численная реализация этого метода достаточно трудоемкая задача. Мы будем решать ее другим способом.

Преобразуем нашу задачу к эквивалентной задаче линейного программирования. Подставим (20) в (19) и (21)-(22). Целевая функция примет форму

, (23)

где

, (24)

(25)

В результате задача слежения примет вид

(26)

Здесь : ; ;

; ; .

; ;

;

.

; .

, ;

;

; ;

Здесь – вектор ограничений на объемы вложений ().

Итак, мы имеем стохастическую задачу, так как в ограничениях (26) матрицы и случайны. Поэтому оптимальное управление будет также случайным. На практике, как правило, именно такая ситуация имеет место.

Алгоритм решения задачи

Задача (26) может быть решена стандартным симплекс-методом с помощью любого математического пакета (например, Mathcad) или компьютерной программы, написанной на языке, например, Fortran, С++, С#. Однако следует отметить, что на практике задачи линейного программирования большой размерности решаются очень плохо. В нашем случае размерность задачи составляет , и при и получим число переменных 100. Для преодоления этой трудности воспользуемся методом управления с прогнозирующей моделью [1].

Суть метода состоит в следующем. Задается горизонт прогнозирования . Для заданного начального состояния вычисляется последовательность управляющих воздействий . На следующем шаге горизонт управления сдвигается на один шаг (), а в качестве начального состояния берется , найденное на предыдущем шаге. Процедура повторяется до тех пор, пока , где – число шагов. Размерность каждой подзадачи равна .

Учет волатильности рисковых ценных бумаг

Волатильность рисковых ценных бумаг будем учитывать с помощью ограничений рискового подпортфеля

. (27)

Введем следующую блочную матрицу

размерности .

Здесь – матрица ковариации доходностей рисковых активов размерности ; – нулевая матрица размерности . Тогда ограничение (27) можно записать в форме

. (28)

Прежде чем решать задачу с учетом ограничения (28), проверяем их выполнение с найденным решением задачи (26). Если ограничения (28) выполняются для всех , то в качестве решения оставляем найденное решение задачи (26). Если ограничения (28) для некоторых не выполняются, то решаем задачу (26) заново с учетом ограничения (28).

Для сохранения линейности задачи представим , где – начальное приближение управления, найденное при решении задачи (24) без ограничения (26); – добавка. При каждом значении будем линеаризировать ограничение (26). В результате получим

, (29)

где ;

; ;

; ; ;

;

Численное моделирование

Получим стратегию управления инвестиционным портфелем пенсионных накоплений, состоящим из облигаций 3 эмитентов: ОАО «АКБ Связь-банк», Самарская область, Министерство финансов РФ; и акций 10 эмитентов: ОАО «ВТБ», ОАО «Сбербанк России», ОАО «Лукойл», ОАО «Газпром», ОАО «Северсталь», ОАО «РусГидро», ОАО «Интер РАО ЕС», ОАО «ФСК ЕС», ОАО «Аэрофлот» ОАО «НК «Роснефть»» [2; 3]. Горизонт инвестирования: с 1 октября 2013 года по 1 октября 2014 года. Шаг пересмотра инвестиционного портфеля выбирается равным одному месяцу. Ниже введем начальные условия.

В начальный момент времени руб. Примем дневную доходность эталонного портфеля на всем горизонте инвестирования неизменной ; дюрации облигаций , вектор ограничений ;

- сводный вектор доходностей ценных бумаг; матрица .

В результате моделирования получили следующие результаты по управляемому и эталонному инвестиционным портфелям (рис. 1). На оси абсцисс отмечены моменты переформирования портфеля; на оси ординат – совокупный объем портфелей.

Рис. 1. Динамика управляемого (синяя линия) и эталонного (красная линия) инвестиционных портфелей

По результатам численного моделирования отмечаем, что капитал управляемого портфеля хорошо отслеживает рост капитала эталонного портфеля и преимущественно превосходит его.

Рецензенты:

Арефьев К.П., д.ф-м.н., профессор кафедры высшей математики Томского политехнического университета, г. Томск;

Катаев М.Ю., д.т.н., профессор кафедры АСУ Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники, г. Томск.