Модели и методы теории массового обслуживания находят широкие применения в задачах организации производства, при построении систем связи и вычислительных систем в военном деле, авиационной отрасли и т.п. Задачи оптимального управления, постоянно возникающие в этих областях, привели к формированию понятия управляемой системы массового обслуживания и постановке задач оптимального управления системами массового обслуживания [5]. Критерием оптимального управления СМО в зависимости от целей исследования могут служить ее различные характеристики: производительность системы, среднее количество требований в системе или среднее время ожидания, вероятности потерь, коэффициент загрузки системы или среднее время простоя приборов и т.п.[5].

Наряду с классическим представлением управляемых систем массового обслуживания [3,4], модели СМО могут быть описаны в терминах точечных процессов [2], при которых поведение СМО описывается некоторым случайным процессом, а наличие управляемых воздействий приводит к изменению его траекторий.

          В настоящей работе рассматривается оптимальное управление  интенсивностью входящего пуассоновского потока заявок многоканальной СМО с роутером при эпизодически наблюдаемой длине очереди на приборах. Рассматриваются две модели СМО: в первой эпизодический процесс длины очереди строится по наблюдениям в моменты остановки ; вторая модель строится аналогично первой, но с введенным процессом телеграфного типа.

Задача нахождения оптимального управления интенсивностью входящего потока  двух моделей СМО решается путем нахождения экстремума  функционала, зависящего от средней длины очереди на приборах, цены наблюдения и времени моделирования. Решение задачи оптимального управления представлено методами имитационного стохастического моделирования, включающими формальное представление модели, её алгоритмизация, численное нахождение экстремума функционалов, сравнение результатов.

Математическая модель

Рассмотрим  систему массового обслуживания с двумя обслуживающими устройствами с входящим пуассоновским потоком и моделью роутера (4.2) (детальное описание см. [1]). Введем процессы ,. Значения данных процессов соответствуют значениям  соответственно, в моменты остановок , , где . Обозначим как неубывающее непрерывное справа семейство - алгебр    . Тогда процесс  для первого обслуживающего устройства принимает вид:

                                                 (1)

Соответственно, для второго обслуживающего устройства процесс записывается как

                                                (2)

Где .

Процессы , характеризуют значения очереди в моменты остановок, т.е. фактическое значение длины очереди на приборе определяется лишь после того, как заявка была распределена в соответствующую очередь в момент времени . Задача заключается в нахождении оптимальной интенсивности наблюдений в модели с двумя обслуживающими устройствами и роутером.

Запишем функционал системы:

                                                           (3)

Умножив правую часть на , получим функцию

                                           (3’)

Где  заданная константа – цена наблюдения, - время моделирования.

Модель (1), (2) с функционалами (3), (3’) можно интерпретировать следующим образом.

Предположим, что на -ом обслуживающем устройстве определение длины очереди происходит только  при отправке роутером на соответствующий  прибор. Тогда при  достигается наилучшая аппроксимация  по наблюдениям ,.[7] Однако, при  второе слагаемое уравнения (3) . В то же время, при  , .

Таким образом, оптимизационная задача заключается в нахождении такого параметра  системы, при котором значение функционала (3) было бы наименьшим.

                                                            (4)

Рассмотрим аналогичную модель СМО за исключением того, что в момент остановки (т.е. прихода заявки на распределительное устройство)  у нас есть возможность определить значение очереди только на одном обслуживающем устройстве.  Введем процесс телеграфного типа , тогда значение процессов ,  будет определено следующим образом:

       (5)

Эксперимент, результаты моделирования

Построим для моделей (2-3), (5) при фиксированном значении график функционала (3) в зависимости от  с шагом .  Для каждой точки , где рассчитаем значение функционала .

График , , , , ,  ,

Заключение

          Целью настоящей работы являлось построение задачи и нахождение оптимального управления интенсивностью  входящего потока многоканальной СМО с роутером при эпизодически наблюдаемой длине очереди на приборах и сравнение экстремумов двух моделей (2-3) и (5). Численное решение функционала (3) для моделей (2-3), (5) продемонстрировано на рисунке. Согласно графику, при заданных параметрах ,  для модели (5), для модели (2-3) ,  при которых значение ,соответственно. Модель (5) эффективнее модели (2-3), т.е. при  выполнено  . Таким образом, представленная имитационная модель позволяет находить оптимальную интенсивность  наблюдений  в задаче распределения заявок роутером в системе из двух обслуживающих подсистем.

 

Рецензенты:

Мищенко С.П., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск;

Андреев А.С., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск.