Постановка задачи. Среди задач об осесимметричном деформировании упругих оболочек вращения аналитическое решение допускают лишь простейшие – обычно относящиеся к оболочкам правильной формы [4]. Зачастую необходимо применение численных методов: конечно-разностных (и связанных с ними) или вариационных (методы Ритца, Бубнова-Галеркина, конечных элементов (МКЭ), вариационно-разностные). Наиболее распространенными являются вариационные методы, основанные на вариационном принципе Лагранже, в первую очередь – МКЭ [1]. Обычно они связаны с определением трех кинематических переменных: продольного и поперечного перемещений , и угла поворота . Возможно осуществить некоторое преобразование уравнений, при котором вместо , определяются радиальное и осевое перемещения , . Это дает ряд преимуществ, в том числе: более простое описание геометрии, менее строгие требования к гладкости дуги меридиана, аддитивность переменных в нелинейной задаче и др. Порядок системы, однако, при этом не изменяется. В то же время в статически-определимых задачах, когда несамоуравновешенная нагрузка априорно известна, удается выразить осевой усилие через известные величины, получить системы 4-го порядка относительно , и отдельно формулу для (подобный прием используется при выводе уравнений Мейснера [4]).Полученная система, как и исходная система уравнений, обладает всеми необходимыми свойствами, чтобы сформулировать эквивалентный ей вариационный принцип. Любой вариационный метод, основанный на нем, приводит к разрешающей алгебраической системе меньшей размерности, что позволяет существенно уменьшить вычислительные затраты. Такой подход применим фактически к любому корректному варианту теории оболочек: классическому (типа Лява [4]), с учетом сдвига (типа Тимошенко) [2], [3] поперечного обжатия и перекрестных слагаемых в соотношениях упругости, для оболочек сложной внутренней структуры [5], анизотропных и т.д. Конкретная реализация ниже осуществлена на примере простейших уравнений типа Тимошенко.

Вывод вариационного уравнения

Запишем в наиболее общем матричном виде уравнения осесимметричного деформирования оболочки вращения, согласующиеся с любым вариантом теории:

(1)

Здесь – радиус и меридиональная координата; – векторы обобщенных усилий, перемещений и деформаций; – векторы распределенных нагрузок и навязанных деформаций (вызванных, например, начальными напряжениями); – матрица жесткости; – матрица присоединенной жесткости (при наличии упругого подвеса); – некоторые геометрические матрицы. Символ означает транспонирование. Будем считать, что на краях заданы нулевые кинематические граничные условия или для некоторых компонент в общем случае – ненулевые граничные условия:

(2)

Системе (1) совместно с граничными условиями (2) соответствует вариационный принцип Лагранжа, который формулируется следующим образом. Среди всех векторов , удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, решением задачи является тот, который доставляет функционалу минимальное значение:

(3)

где

(4)

– (5)

удельная внутренняя энергия, удельная работа распределенной нагрузки, работа краевых сил. Слагаемое в формуле для является постоянным и может быть исключено из рассмотрения. Выражение под знаком интеграла в (3) может быть переписано в виде:

где

(6)

Конкретизируем вид матриц для простейших уравнений типа Тимошенко. Предварительно введем обозначения для недостающих геометрических, а также физических характеристик: – осевая координата; – угол между ортами и ; – радиусы меридиональной и широтной кривизн; – толщина; – модуль Юнга; – коэффициент Пуассона. Будем считать, что заданы продольная, поперечная и моментная распределенные нагрузки , полная осевая сила на краю и, возможно, другие краевые усилия. Неизвестными являются меридиональные и окружные растягивающие усилия и изгибающие моменты , соответствующие им деформации растяжения и изгиба , перерезывающее усилие , сдвиг , перемещения , поворот . Они подчиняются известным уравнениям [2], для которых матрицы и векторы, входящие в (1), равны

(7)

(8)

Традиционное вариационное уравнение вытекает из (3), где использованы формулы (5), (6) и, согласно (7), вычислено

(9)

Для построения уравнений пониженной размерности введем осевые и меридиональные усилия, перемещения и внешние распределенные нагрузки:

(10)

Это позволяет записать два уравнения равновесия:

а из третьего уравнения

и условия вычислить осевое усилие

(11)

в простейшем случае, при

Далее, свяжем новые перемещения с компонентами деформаций:

Наконец, соотношения упругости перепишем в виде

Подставив в уравнения равновесия и в выражения для производных от перемещений все выписанные формулы, получим систему уравнений относительно двух усилий и двух перемещений:

(12)

и отдельно формулу для перемещения (для определенности будем считать, что ), выраженного через них

(13)

где обозначено

(14)

Система (12) записывается в виде (1) при

(15)

Следовательно, ей соответствует вариационный принцип (3), в котором использованы формулы (5), (6), и, согласно (15), вычислено

(16)

Обсуждение результатов и выводы

Таким образом, задача об осесимметричном деформировании оболочки вращения свелась к модифицированному вариационному уравнению, имеющему ту же структуру, что и традиционное, но пониженную размерность. Отметим условный характер присущих ему понятий: внутренняя энергия, упругий подвес и т.д. – которые в данном случае являются характеристиками уравнений, но не исходной конструкции как таковой. Подчеркнем, что например, при использовании традиционного метода конечных элементов с переменными исключение узловых значений не позволяет прийти к модифицированным конечно-элементным уравнениям. Наконец, укажем ряд дополнительных преимуществ полученного модифицированного уравнения, кроме тех, которые связаны с выбором переменных в неподвижных осях (они указаны в начале статьи) и пониженной размерности. К ним относится значительно лучшая обусловленность матриц и возможность непрерывного перехода к теории типа Лява, связанная с тем фактом, что все компоненты матриц остаются конечными при (кроме тех точек, где ).

Рецензенты:

Картузов Е.И., д.т.н., профессор кафедры теоретической механики Санкт-Петербургского Государственного морского технического университета, г. Санкт-Петербург;

Сорокин С.В., д.т.н., профессор кафедры сопротивления материалов Санкт-Петербургского Государственного морского технического университета, г. Санкт-Петербург.