Постановка задачи. Среди задач об осесимметричном деформировании упругих оболочек вращения аналитическое решение допускают лишь простейшие – обычно относящиеся к оболочкам правильной формы [4]. Зачастую необходимо применение численных методов: конечно-разностных (и связанных с ними) или вариационных (методы Ритца, Бубнова-Галеркина, конечных элементов (МКЭ), вариационно-разностные). Наиболее распространенными являются вариационные методы, основанные на вариационном принципе Лагранже, в первую очередь – МКЭ [1]. Обычно они связаны с определением трех кинематических переменных: продольного и поперечного перемещений 
, 
и угла поворота 
. Возможно осуществить некоторое преобразование уравнений, при котором вместо , определяются радиальное и осевое перемещения 
, 
. Это дает ряд преимуществ, в том числе: более простое описание геометрии, менее строгие требования к гладкости дуги меридиана, аддитивность переменных в нелинейной задаче и др. Порядок системы, однако, при этом не изменяется. В то же время в статически-определимых задачах, когда несамоуравновешенная нагрузка априорно известна, удается выразить осевой усилие через известные величины, получить системы 4-го порядка относительно , 
и отдельно формулу для 
(подобный прием используется при выводе уравнений Мейснера [4]).Полученная система, как и исходная система уравнений, обладает всеми необходимыми свойствами, чтобы сформулировать эквивалентный ей вариационный принцип. Любой вариационный метод, основанный на нем, приводит к разрешающей алгебраической системе меньшей размерности, что позволяет существенно уменьшить вычислительные затраты. Такой подход применим фактически к любому корректному варианту теории оболочек: классическому (типа Лява [4]), с учетом сдвига (типа Тимошенко) [2], [3] поперечного обжатия и перекрестных слагаемых в соотношениях упругости, для оболочек сложной внутренней структуры [5], анизотропных и т.д. Конкретная реализация ниже осуществлена на примере простейших уравнений типа Тимошенко.
Вывод вариационного уравнения
Запишем в наиболее общем матричном виде уравнения осесимметричного деформирования оболочки вращения, согласующиеся с любым вариантом теории:
(1)
Здесь 
– радиус и меридиональная координата; 
– векторы обобщенных усилий, перемещений и деформаций; 
– векторы распределенных нагрузок и навязанных деформаций (вызванных, например, начальными напряжениями); 
– матрица жесткости; 
– матрица присоединенной жесткости (при наличии упругого подвеса);
– некоторые геометрические матрицы. Символ 
означает транспонирование. Будем считать, что на краях заданы нулевые кинематические граничные условия или для некоторых компонент в общем случае – ненулевые граничные условия:
(2)
Системе (1) совместно с граничными условиями (2) соответствует вариационный принцип Лагранжа, который формулируется следующим образом. Среди всех векторов 
, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, решением задачи является тот, который доставляет функционалу 
минимальное значение:
(3)
где
(4)
– (5)
удельная внутренняя энергия, удельная работа распределенной нагрузки, работа краевых сил. Слагаемое 
в формуле для 
является постоянным и может быть исключено из рассмотрения. Выражение под знаком интеграла в (3) может быть переписано в виде:
где
(6)
Конкретизируем вид матриц для простейших уравнений типа Тимошенко. Предварительно введем обозначения для недостающих геометрических, а также физических характеристик: 
– осевая координата; 
– угол между ортами 
и 
; 
– радиусы меридиональной и широтной кривизн; 
– толщина; 
– модуль Юнга;
– коэффициент Пуассона. Будем считать, что заданы продольная, поперечная и моментная распределенные нагрузки 
, полная осевая сила 
на краю
и, возможно, другие краевые усилия. Неизвестными являются меридиональные и окружные растягивающие усилия 
и изгибающие моменты 
, соответствующие им деформации растяжения
и изгиба 
, перерезывающее усилие 
, сдвиг 
, перемещения 
, поворот 
. Они подчиняются известным уравнениям [2], для которых матрицы и векторы, входящие в (1), равны
(7)
(8)
Традиционное вариационное уравнение вытекает из (3), где использованы формулы (5), (6) и, согласно (7), вычислено
(9)
Для построения уравнений пониженной размерности введем осевые и меридиональные усилия, перемещения и внешние распределенные нагрузки:
(10)
Это позволяет записать два уравнения равновесия:
а из третьего уравнения
и условия 
вычислить осевое усилие
(11)
в простейшем случае, при 
Далее, свяжем новые перемещения с компонентами деформаций:
Наконец, соотношения упругости перепишем в виде
Подставив в уравнения равновесия и в выражения для производных от перемещений все выписанные формулы, получим систему уравнений относительно двух усилий и двух перемещений:
(12)
и отдельно формулу для перемещения (для определенности будем считать, что 
), выраженного через них
(13)
где обозначено
(14)
Система (12) записывается в виде (1) при
(15)
Следовательно, ей соответствует вариационный принцип (3), в котором использованы формулы (5), (6), и, согласно (15), вычислено
(16)
Обсуждение результатов и выводы
Таким образом, задача об осесимметричном деформировании оболочки вращения свелась к модифицированному вариационному уравнению, имеющему ту же структуру, что и традиционное, но пониженную размерность. Отметим условный характер присущих ему понятий: внутренняя энергия, упругий подвес и т.д. – которые в данном случае являются характеристиками уравнений, но не исходной конструкции как таковой. Подчеркнем, что например, при использовании традиционного метода конечных элементов с переменными 
исключение узловых значений 
не позволяет прийти к модифицированным конечно-элементным уравнениям. Наконец, укажем ряд дополнительных преимуществ полученного модифицированного уравнения, кроме тех, которые связаны с выбором переменных в неподвижных осях (они указаны в начале статьи) и пониженной размерности. К ним относится значительно лучшая обусловленность матриц и возможность непрерывного перехода к теории типа Лява, связанная с тем фактом, что все компоненты матриц остаются конечными при 
(кроме тех точек, где 
).
Рецензенты:
Картузов Е.И., д.т.н., профессор кафедры теоретической механики Санкт-Петербургского Государственного морского технического университета, г. Санкт-Петербург;
Сорокин С.В., д.т.н., профессор кафедры сопротивления материалов Санкт-Петербургского Государственного морского технического университета, г. Санкт-Петербург.