Для неограниченной пластины в критериальной форме система ДУЧП приобретает вид:

     (1)

где  ,  —  безразмерная координата;

Т –  безразмерная температура;

U –   безразмерное влагосодержание;

Fo –  критерий Фурье;

Lu – критерий взаимосвязи тепло- и  массопереноса;

Ko – критерий Коссовича;

Pn – критерий Поснова.

Система (1) может быть решена при различных начальных условиях. В случае низкотемпературной сушки они характеризуются следующим:

1) потенциалы переноса среды постоянны;

2) начальное распределение потенциалов переноса внутри тела постоянное (что, по мнению А.В. Лыкова [4, 5], соответствует стадии прогрева влажного тела и периода постоянной скорости сушки) либо параболическое (что соответствует падающей скорости сушки).

Следует отметить, что случай параболического распределения потенциалов носит более общий характер.

В данном случае система (1) решается при граничных условиях III рода:

                   (2)

                                                  (3)

условиях симметрии:

                                     (4)

и начальных условиях:

                                                       (5)

                                                       (6)

где  Bi – критерий Био;

Kim – массообменный критерий Кирпичева;

Bim – массообменный критерий Био;

un – влагосодержание на поверхности тела;

            —  симплексы неравномерности начального распределения потенциалов тепло- и массопереноса;

tп, tц, uп, uц – соответственно температура и влагосодержание поверхности и центра сортимента.

Решение системы (1) имеет вид:

,                                             (7)

,                    (8)

где

                                               (9)

                       (10)

                                              (11)

                              (12)

                      (13)

    (14)

                                   (15)

                       (16)

 — корни характеристического уравнения

                                          (17)

В литературе [4, 5] приводятся некоторые решения (17), полученные графоаналитическим методом. Однако для максимального использования возможностей решения (7)–(17) необходимо хотя бы приближенное аналитическое решение характеристического уравнения (17).

Введем обозначения:

,         ,

                                                                       (18)

После разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора и преобразований получим:

    (19)

Уравнение (19) представляет собой полином 8-й степени относительно х и имеет вид:

                      (20)

После преобразований и подстановки значений из (18) коэффициенты имеют значения:

                                                                  (21)

В результате решения преобразованного характеристического уравнения мы можем найти 8 первых корней уравнения (17), точнее их первых приближений.

По мнению А.В. Лыкова и Ю.А. Михайлова, при замене бесконечных сумм в (7) и (8) двумя первыми членами ряда по числу корней характеристического уравнения точность вычислений может составлять 1–2%, а при количестве членов 6 и более точность может составлять  0,01–0,02%.

Предлагаемое нами решение дает возможность заменить бесконечную сумму 8 первыми членами, что позволяет говорить о точности вычислений не ниже 0,01–0,02%.

На основе предложенного метода решения системы ДУЧП тепломассообмена в вычислительной среде Mathcad-12 [2, 3] была создана программа для анализа кинетики сушки пиломатериалов.

Для нахождения корней полиномов типа (20) в Mathcad есть встроенная функция типа «V – polyroots (V)».

Пример графической интерпретации результатов решения системы ДУЧП (1) (рис. 1).

                           а)

                                 б)                                                                      в)

Рис. 1.  Кинетика сушки пиломатериалов  порода – сосна, толщина – 40 мм; Wн = 60%, Wк = 12%; режим – нормативный.

а)  Изменение влажности древесины во времени:

     1 – средняя влажность;

     2 – внутренние слои;

     3 – наружные слои.

б) Распределение влажности в пространстве параметров времени и  толщины доски.

в)  Распределение влажности по толщине в различные моменты времени

Санников А.А., д.т.н., профессор кафедры технической механики и оборудования целлюлозно-бумажных производств ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет», г.Екатеринбург;

Уласовец В.Г., д.т.н., профессор кафедры механической обработки древесины ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет», г.Екатеринбург.