В работе проводится исследование краевой задачи со свободными границами, описывающей динамику температурного поля при деструкции тканей плоскопараллельными аппликаторами. Рассмотрена задача криодеструкции, когда присутствует замороженная область и определению подлежат функция 
, и неизвестные границы 
. Для решения задачи в работе применяются методы нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, метод Ротэ, метод эквивалентной линеаризации, а также проведена конечномерная аппроксимация.
Получено точное аналитическое решение соответствующей стационарной задачи, которое определяет очень важные для хирурга максимальные размеры замораживания, криопоражения и теплового возмущения.
Конечномерной аппроксимацией решение полученной системы сведено к решению системы нелинейных алгебраических уравнений.
1. Постановка задачи
В различных областях медицины при деструкции тканей применяются достаточно протяженные плоские аппликаторы. Определение динамики температурного поля в этом случае сводится к решению следующей задачи со свободными границами для нелинейных эволюционных уравнений [1, 2, 6]:
(1)
(2)
(3)
В задаче (1)–(3) искомыми являются температурное поле 
и границы 
остальные параметры и функции известные, 
.
Аналитическое решение стационарной задачи (1)–(3) имеет вид [6]:
(4)
где
(5)
2. Задача криодеструкции биологической ткани
Если 
, то при 
будет возникать замороженная область биоткани 
. В этом случае метод Ротэ для задачи (1)–(3) приводит к системе краевых задач со свободными границами 
и 
:
(6)
(7)
. (8)
С помощью функций Грина 
и 
(9)
определяемые как решение краевых задач:
(10)
В (9)
(11)
.
С помощью функций Грина (9) и формул Грина [3, 4]:
; (12)
(6)–(8) сводится к решению нелинейного интегрального уравнения типа Гаммерштейна, системе двух нелинейных уравнений относительно 
и 
и квадратуре:
(13)
(14)
Конечномерная аппроксимация уравнений (13), (14) позволяет свести задачу к нелинейной алгебре относительно узловых значений 
и чисел 
и 
.
Так как задача не содержит явно времени 
, то с определенной погрешностью в качестве ее приближенного решения можно принять:
(15)
где 
— решение задачи Коши:
(16)
Конечномерная аппроксимация квадратуры (14) и замена уравнений (16) разностными в данном случае приводят к системе нелинейных уравнений относительно узловых значений 
и чисел 
и :
(17)
где
(18)
Приближенное решение задачи (1)–(2) будем искать в виде соответствующего стационарного решения, считая 
и 
:
(19)
.
Краевые условия при 
выполняются автоматически. Дифференциальные уравнения и краевые условия удовлетворимы в смысле общих тепловых балансов с учетом условия сопряжения [4, 5]:
(20)
Полагая 
, после вычисления производных и интегралов для определения 
и 
приходим к задаче Коши:
(21)
Заменяя производные конечными разностями, получаем систему нелинейных уравнений относительно 
и 
на данном временном слое:
Приведенные алгоритмы получения приближенных решений реализованы на ЭВМ. Результаты численных расчетов сведены в таблицы.
|
|
|||||
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
1.89 |
2.05 |
1.50 |
1.66 |
|
|
|
3.08 |
3.24 |
2.12 |
2.30 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
2.48 |
2.64 |
1.91 |
2.08 |
|
|
|
3.71 |
3.87 |
2.33 |
2.72 |
|
Рецензенты:
Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН, г. Нальчик;
Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Институт, г. Нальчик.