Аналогичная проблема возникает при решении краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений в дифференциальной и конечно-разностной постановках.
В настоящей работе исследуется поведение решения краевой задачи третьего рода
, 0<x<1,(1)
(2)
, (3)
где
всюду на [0.1] , а положительные числа. Как известно [3,4],задача (1)-(3) однозначно разрешима в классе функции , при этом имеет место априорная оценка
. (4)
В данной работе будет получена поточечная оценка решения задачи (1)-(3), а также априорная оценка, усиливающая (4).
Приведем необходимые сведения для решения поставленной задачи.
Рассмотрим два уравнения:
(5)
(6)
где функции и вещественны и непрерывны на интервале и
.(7)
При этих условиях уравнение (6) называется мажорантой Штурма[5] для уравнения (5) на J.
Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнений (5) и (6) непрерывны на (], и пусть уравнение (6)является мажорантой Штурма (5). Предположим, что и являются решениями уравнений (5) и (6) соответственно, всюду на отрезке [] удовлетворяет соотношениям:
, ,
и в точке выполнено неравенство
Тогда
, .(8)
Доказательство теоремы приводится в [1].
Для получения оценки (5) будем пользоваться [4] представлением решения задачи (1)-(3) в виде
. (9)
где – функция Грина третьей краевой задачи.
Функция определяется по формуле
(10)
гдеr(x), q(x)-решения задач
, 0<<1, (11)
,
(12)
а постоянная C в (9) определяется по формуле
Введем обозначение и изучим свойства решений задач (11) и (12). Лемма.1Пусть k()
Тогда решение задачи (11)будет положительной, строго возрастающей на [0,1] функцией. При этом для всех имеет место неравенство
(13)
Для доказательства неравенства (13) применим теорему 1, приняв в неравенстве (8) в качестве решение задачи (11), а в качестве - решение задачи
(14)
В силу неравенств, уравнение (11) является мажорантой Штурма уравнения (14). Единственным решением задачи (14) является функция
,
которую,используя левое краевое условие (11), перепишем в виде
(15)
Поскольку числа 𝜆, , , , положительны, то нетрудно показать, что будет положительной, строго возрастающей на [0,1] функцией. Очевидно, что
Таким образом, выполнены все условия теоремы 1. Подставляя в (8) функции и вместо и и учитывая, что в данном случае
,
приходим к неравенству
. (16)
Оценим снизу . Используя краевые условия в (11), получаем:
откуда,с учетомравенства
имеем
.
Из цепочки неравенств
следует, что
(17)
Пользуясь (15) и (17) из (16) получаем неравенство (13).
Лемма 2. Пусть всюду на . Тогда решение задачи (12) на отрезке [0,1]будет положительной, строго убывающей функцией. При этом имеет место неравенство
.(18)
Доказательство леммы 2 проводится по аналогии [2]с доказательством леммы 1.
Теорема 2. Пусть k()
0< всюду на [0,1]. Тогда для решения задачи (1)-(3) имеет место оценка
Для доказательстватеоремывоспользуемся представлением (9)решения задачи (1)-(3) с помощью функции Грина:
где и- решения задач (11) и (12).
Заметим, что:
а); (21)
б);(22)
Тогда
. (23)
Воспользуемся краевыми условиями в (11) ,(12).Учитывая, что из (23)
получаем оценку:
.(24)
Из оценок (24), (13) и (18) следуетоценка решения в точке ξ:
С учетом свойств функцийиз последнего получаем априорную оценку решения:
.
Рецензенты:Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН, г. Нальчик;
Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессорВысокогорного геофизического института, г. Нальчик.