По данным статистики ЕГЭ по математике (профиль) только 4,2% абитуриентов решают правильно задачи с параметрами (задание № 18), эти задания относятся к уровню сложности «высокий» и оцениваются максимально 4 баллами [1]; из бесед следует, что большинство абитуриентов не знакомы с методами решения таких задач. Без качественной школьной подготовки невозможно сформировать у подрастающего поколения фундаментальные знания, что является необходимым условием для успешного изучения в технических вузах высшей математики и других базовых дисциплин.

Проблемой обучения школьников решению задач с параметрами занимались М.И. Башмаков, Ю.М. Важенин, В.А. Далингер, А.Г. Мордкович, Г.И. Саранцев и др.

Практика проведения вступительных экзаменов, ЕГЭ и олимпиад по математике показывает, что задачи с параметрами являются для старшеклассников задачами повышенной сложности, при решении которых необходимо не только знание разнообразных методов и приемов, но и гибкость математического мышления. В школьной программе по математике мало времени уделяется решению такого рода задач, и многим абитуриентам они не по силам.

Цель исследования: формирование у абитуриентов фундаментальных знаний по математике посредством изучения нестандартных методов при решении задач с параметрами из повышенного уровня ЕГЭ (профиль).

Материал и методы исследования. В исследовании принимали участие абитуриенты, обучающиеся на подготовительных курсах, ученики школ 10–11-х классов, учителя-предметники, эксперты ЕГЭ. Был проведен анализ литературы, в которой описывались различные методы решения задач с параметрами [2–4].

Разумная классификация задач с параметрами по методам решений достаточно затруднительна, поскольку каждая из них является в определенной степени нестандартной и творческой. Наиболее часто используемые методы решения задач с параметрами: графический метод, метод оценки, метод симметрии, использование ограниченности и монотонности функций и т.п.

Одним из наиболее эффективных методов решения задач с параметрами служит графический способ. Он является более доступным и понятным для старшеклассников в связи со своей наглядностью. Мы остановимся на других методах решения нестандартных задач, в которых требуются логические суждения и умение анализировать различные ситуации. Решение таких задач вызывает у школьников затруднения как в логическом, так и в техническом плане.

Задача 1. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

Решение. В первую очередь замечаем, что можно ввести замену по параметру: . В силу этого уравнение примет симметрический вид:

(1).

Введем функцию . Уравнение (1) примет вид:. Легко проверить, что , т.е. функция четная. Следовательно, если является корнем уравнения, то и также корень данного уравнения. По условию решение должно быть единственным, т.е. может быть только Подставим его в уравнение (1): .

Корни этого уравнения . При этих значениях мы гарантируем, что ноль является корнем, но утверждать, что он единственный, не можем. Поэтому надо подставить найденные значения параметра в уравнение (1) и проверить количество решений при каждом из них.

Если , то .

Получили три решения, следовательно, не подходит.

Если , то .

Поскольку обе части неотрицательны, то возведем в квадрат: ,

. (2)

Решим уравнение (2), раскрыв модуль по определению:

Получили единственное решение, следовательно, подходит. Тогда находим соответствующие значения параметра

Ответ:

Отметим важные шаги решения. Во-первых, при решении данной задачи нужно было обратить внимание на единственность решения (в общем случае – нечетность количества корней) и четность уравнения относительно неизвестной. Во-вторых, правильно сделать вывод, что нам дает нахождение значений параметра , если ноль является корнем уравнения. Решения уравнения (2) было найдено аналитическим способом. Можно было показать количество решений и графическим способом.

Задача 2. Найдите значения , при каждом из которых решение уравнения

принадлежит отрезку .

Решение. Введем функцию , определенную на интервале . Данная функция является непрерывно возрастающей в своей области определения как сумма двух непрерывно возрастающих функций.

Поэтому множеством значений функции на отрезке будет являться промежуток . Вычислим значения функции в граничных точках отрезка:

; .

Получаем, что множество значений функции на данном промежутке .

Исходное уравнение можно записать в виде , и по условию оно должно иметь решения на промежутке . Это равносильно, что значение попадает в множество значений функции на данном отрезке, т.е. .

Ответ: .

Первое впечатление от этого задания – это «нереальность» его решения в общем случае, поэтому надо использовать один из методов нестандартного решения: графический метод, оценка, монотонность функции и т.п. Конкретно к этому типу задания однозначно применяется метод монотонности функции.

В следующем примере также используется этот же метод, но в техническом плане решение будет другим.

Задача 3. Найдите значения , при каждом из которых уравнение

не имеет корней.

Решение. Преобразуем уравнение: или

. (3)

Пусть , тогда уравнение (3) примет вид: .

Введем вспомогательную функцию: . Отметим, что данная функция является возрастающей при , т.к. .

В силу монотонности функции имеем .

Значит, .

По условию уравнение не имеет корней, т.е. дискриминант :

.

Ответ: .

Задача 4. Найдите значения , при каждом из которых уравнение

имеет на отрезке ровно два решения.

Решение. Отметим, что существует, если , т.е. . С учетом нашего промежутка получаем .

Введем замену . Получим уравнение:

.

По обратной теореме Виета имеем:

Функция является возрастающей на своей области определения, поэтому если 1) , то ; 2) если , то .

Таким образом, если , то получим два решения по переменной ; если , то получим одно решение по переменной .

Для выполнения условия задачи возможны два случая:

1.

Получаем, что если , то , т.е. уравнение имеет одно решение, что не удовлетворяет условию задачи.

Если , то , т.е. уравнение имеет два решение. Следовательно, значения подходит.

2. Если , то

.

Таким образом,

Ответ:

Замечания по задаче:

1) при решении этой задачи сразу «напрашивались» замена переменной и сведение исходного уравнения к квадратному;

2) нахождение корней по обратной теореме Виета не обязательно, можно было вычислить дискриминант, который получился бы полным квадратом;

3) после введения переменой необходимо прописать множество значений новой величины;

4) требуется проанализировать ситуации получения нужного количества корней уравнения.

Следующая задача по структуре очень похожа: замена переменной и сведение к исследованию корней квадратного уравнения, но проверка ограничений (ОДЗ) будет более тщательной.

Задача 5. Найдите значения , при каждом из которых уравнение

имеет ровно два решения.

Решение. Выпишем ОДЗ:

Введем замену .

Получим уравнение: . (4)

Вычислим дискриминант

.

Если , то .

Если , то

Пусть – корень уравнения (4). Найдем соответствующее значение неизвестной .

,

,

.

Если , то система не имеет решения.

Вычислим значения , при которых ОДЗ.

1. Если , то : не имеет решения.

2. Если , то :

3. Если , то :

Таким образом, ОДЗ по переменной : (5)

По условию нам нужно ровно два решения по переменной , тогда и по переменной тоже должно быть два различных решения, удовлетворяющих ОДЗ (5).

Выше получили, что при :

1. : .

2. : .

Получаем

Ответ: .

Отличие трех решений заключается в различных способах проверки ограничений.

Для создания математической модели данной задачи требуются гибкость мышления и уверенное владение математическим аппаратом.

Результаты исследования и их обсуждение. Абитуриенты и школьники обучились новым приемам и методам решения сложных нестандартных задач с параметрами. Полученные навыки являются мощным инструментом формирования фундаментальных знаний, а также повышают уровень развития математической культуры.

Выводы. Абитуриенты, способные решать задачи с параметрами, более успешно справляются и с другими заданиями ЕГЭ, умеют конструировать новые способы решения задач, осознанно выбирают рациональные методы решения, решают задачи несколькими способами, более того – увеличиваются скорость и качество техники решения задач.

Заключение. Задачи с параметрами относятся к заданиям повышенного уровня и располагаются в вариантах профильного ЕГЭ по математике на последних позициях. Оцениваются они более высокими первичными баллами и предназначены для тех абитуриентов, которые претендуют на высокий экзаменационный балл. Изучение нестандартных методов на примере решения задач с параметрами [5–7] не только позволяет расширить область успешно решаемых задач по математике, но и способствует развитию у старшеклассников нестандартного, конструктивного математического мышления, которое необходимо для будущих инженеров.