Scientific journal

Modern problems of science and education

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

Cвойства бесконечности: а+∞=,∞ а x ∞=∞, ∞+∞=∞, ∞ x ∞=∞, ∞ ^∞=∞ и др. упрощают решения многих задач анализа. Однако такой подход, когда , лишает понятие бесконечности всякой определённости и структуры, не допуская его изучения и увеличивая риск появления ошибок в доказательствах утверждений о бесконечном. Галилео Галилей, открыв, что количества натуральных чисел и их квадратов якобы равны, завещал быть осторожными в сравнении бесконечных количеств: «...свойства равенства, а также большей и меньшей величины не имеют места там, где речь идёт о бесконечности, и применимы только к конечным количествам» [1, с. 140-146]). С конца XIX века подобные парадоксы стали объясняться с помощью взаимно однозначного соответствия между множествами А и В. Для конечных множеств А и В проверка сюръективности отображения ψ : A →B , т. е. условия ψ (A) = B, не вызывает затруднений. Аналогичная процедура для отображений бесконечных множеств не является такой тривиальной, более того, выполнимость формулы, например,φ : N→ N  на всём множестве  N  {1,2,...,n...} натуральных чисел, как правило, требует доказательства, не смотря на очевидность этого на некотором начальном отрезке множества N. В статье сформулированы и доказаны признаки сюръективности инъективных отображений φ: N→ N . Введённые понятия нашли приложения в теории функций и в теории чисел [3, 4].

1. Об отображениях конечных множеств и о понятии С-точной пары натуральных переменных

Три очевидных утверждения об отображениях конечных множеств приведены ниже для сравнения суждений о конечном и бесконечном. Как принято в анализе, биективность множеств А и В обозначается как А~В.

Утверждение 1.1. Конечные множества А и В биективны, т. е. существует инъективное отображение ψ : A →B и  ψ (A) = B тогда и только тогда, когда равны количества их элементов: ( A ~В) ⇔ (|A|=|B|).

Утверждение 1.2. Не существует биекции между конечным множеством A и его собственным подмножеством B ⊂ A, другими словами, инъективное отображение φ : A →B является неосуществимым на всем множестве A ⊃ B.

Утверждение 1.3. Пусть А и В - собственные подмножества конечного множества С и A ~В, тогда всякая инъекция φ : A →B может быть продолжена до биекции ψ : C →C, по которой ψ(C)= C.

В статье доказано, что содержание Утверждений 1.2-1.3 сохраняется для отображений бесконечных подмножеств А и В множества N.

Под переменной ниже понимается тройка (x, X, θ), где x - символ переменной, X - множество значений переменной и θ - порядок во множестве Х. Бесконечность множества N натуральных чисел понимается в связи с принципом математической индукции как неограниченная возможность перехода от (n) к (n+1), а фраза «при предельном переходе в F(n)» означает следующее:

.         (1.1)

Принцип предельного перехода (1.1) и равномерная направленность множества N мотивируют, почти точно следуя одинаково упорядоченным переменным Г. М. Фихтенгольца [6, с. 643-644], введение понятия С-точной пары. Пусть множества А ⊂N и  В⊂ N  бесконечны, A ∩ B ⊇Ø   и Е  A ∪ B ⊆ N.

Определение 1.1. Пара (m, k) натуральных переменных m ∈A и k∈B называется С-точной парой, если для каждых соседних в Е элементов m и k найдётся число С>0 такое, что

|m-k|<C.                                              (1.2)

Условие (1.2) C-точности пары (n, m) имеет следующую эквивалентную, что очевидно, форму записи:

           (1.2')

где

2. О признаках сюръективности отображения φ: N→N

Ниже, по умолчанию, рассматриваются инъективные функции φ: N→N. Пусть последовательность ξ {1,n₁, n₂,...,n_i,..} ⊂N , N (ξ) { i : ∃n_i  ∈ ξ) ⊂N и . Пусть далее, N_i {1,2,....n_i}, Δ_i+1  N_i+1 |N_i . Последовательность ξ и инъективное отображение φ: N→ N определяют ∀i ∈N (ξ) две последовательности { δ_i } и { d_i} неотрицательных целых чисел, где:

δ_i  { φ(n)- n_i } ≥0, d_i   | D_i | ≥0, D_i N_i |φ (N_i ).                       (2.1)

Если  | | ≥ 0,    φ (N_i )| N_i ,то очевидно, что . Действительно, , если { , } = Ø. В иных случаях  . Отображение φ: N→N:  определяет также последовательность { φ_n }  целых чисел, где . Справедливо следующее

Утверждение 2.1. Если  и для некоторой последовательности ξ , то справедливо неравенство .

● Если ξ=N, то  что очевидно. В общем случае,∃  такое, что δ_φ = . Тогда найдётся . Если , то вновь   если же , то -  ^-. Тогда . Однако, положив всего лишь , мы получим пару (ξ, N(ξ)) такую, что вновь имеем равенство  Поэтому для всякого инъективного отображения φ: N→N существует последовательность x такая, что

= . ■                                           (2.2)

Ниже мы формулируем [4, c. 88] непосредственное и очевидное следствие определения множества D_i  в (2.1) и определения сюръективности отображения φ: φ (N) =N  (ср. Утверждение 1.1).

Утверждение 2.2. Необходимое условие сюръективности каждого инъективного отображения φ: N→N имеет следующие две эквивалентные формы:

Ø и N_i ⊂ φ (N_i+j).       (2.3)

● Мы докажем, например, что  Ø) ⇒ (N_i ⊂ φ (N_i+j) ).Действительно, включение  следует из  Ø и определения D_i+1 , значит D_i ⊂ φ (N_i+j) . Кроме того, N_i \ D_i ⊂ φ (N_i)  ⊂ φ (N_i+j)  по определению D_i. Следовательно, N_i ⊂ φ (N_i+j) . Обратная импликация доказывается аналогично. ■

Ниже фраза «для почти всех i» обозначает «за исключения конечного множества индексов i» и по определению мы пишем « ».

Достаточные признаки сюръективности (а) и антисюръективности (b) функции j, являющиеся следствием Утверждения 2.2 и определения в (2.1) последовательности { d_i}, даны в терминах d_i ниже.

Утверждение 2.3. Достаточные условия сюръективности (а) и антисюръективности (b) инъективного отображения φ: N→N  имеют, соответственно, вид

(a) ,                                   (2.4a)

(b) .                             (2.4b)

● Каждое число d_i определяет количество элементов n из подмножества N_i, не имеющих прообраза φ^-1 (n) в N_i, поэтому неограниченность последовательности {d_i }, i ∈ N (ξ), противоречит условию φ (N) =N сюръективности отображения φ. Условие (2.4a) гарантирует существование числа i₀ такого, что для отображения φ справедлива следующая цепь импликаций:

. ■

Как показывают примеры, условия (2.4a) и (2.4b) не являются необходимыми, соответственно, для сюръективности и антисюръективности функции φ.

Про антисюръективное инъективное отображение скажем, что оно потенциально не осуществимо на всем множестве N (ср. с Утверждением 1.2).

Теорема 2.1. Последовательности {δ_i} и {d_i}, i  ∈ N(ξ), определяемые парой (ξ, φ), удовлетворяют [4, c. 86] одному и только одному из трёх следующих условий:

(a) ,         ∈ N(ξ) : ( δ_i = 0) ⇔ (d_i =0)             (2.5a)

(b) (∃C₁, C₂, C₂ ≤ C₁ ∈ N): ( ∈ N(ξ) (0 < δ_i < C₁)  ⇔ (0< d_i < C₂)), (2.5b)

 (c) i  ∈ N(ξ) (d_i → ∞) ⇔ (δ_i  → ∞) .   (2.5c)

● Если ∀_i ∈ N(ξ) δ_i =0, то  ∀_i ∈ N(ξ) φ (N_i ) =N_i и, по определению, d_i =0, и, наоборот, из чего следует (2.5a). Предположим, далее, что 0< δ_i < C₁, тогда d_i= . В силу последнего условия, очевидно, что неограниченность последовательности { δ_i} является следствием неограниченности последовательности {d_i  }. В частности, при i ∈ N(ξ) справедлива импликация (d_i  → ∞) ⇒ (δ_i  → ∞) .

Пусть далее ∃C₂ ∈ N  и ∀_i ∈ N(ξ) d_i < C₂ . Теперь мы покажем, что совмещение двух условий:  и неограниченность последовател ьности { δ_i} приводит к противоречию. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что  δ_i  → ∞. Из δ_i  → ∞  также следует, что δ_i-q  → ∞)  при всех конечных q и, в том числе, при q = C₂. Пусть , тогда ∃n^*  такое, что ∀_i > n^* , k_i-q > n_i. Из этого следует, что для всех j таких, что , i-q ≤ j ≤ i, k_i ∉ D_i и, так как φ( N_i)=( N_i \ D_i) ∪ D_i^- , то , т. е. все k_i ∈D_i^-. Значит, число d_i^-, равное количеству элементов D_i^-множества , удовлетворяет следующему неравенству: d_i^-  ≥ (i)-(i-q-1)  .

Вместе с нашим предположением, что C₂ > d_i^-,   мы имеем противоречие C₂ ≥ C₂+1, которое подтверждает (2.5b) и вместе с ним (2.5c). ■

Следствие Утверждений 2.2-2.3 и Теоремы 2.1 записано ниже.

Утверждение 2.4. Необходимый признак сюръективности инъективного отображения φ: N→N  в терминах последовательности {  δ_i  } имеет следующую форму:

 ∀_i  ∈ N(ξ) 0 ≤ δ_i  ≤ C_ξ .              (2.6)

Ещё один необходимый признак сюръективности инъекции φ: N→N   имеет [3, p. 8] с учётом равенства (2.2) даёт следующее предложение.

Теорема 2.2. Ограниченность последовательности { φ_n} целых чисел , n ∈ N , является необходимым условием для сюръективности инъективного отображения j: , т. е. из  следует, что

(φ (n) :n ) =1.        (2.7)

Как показывают примеры, необходимые условия (2.3) и (2.7) сюръективности инъекции φ: N→N  являются независимыми и, следовательно, ни одно из этих условий не может быть достаточным.

Последовательность ξ= {1,n₁, n₂, ...} назовём последовательностью с ограниченным шагом, если ∃С, С>0, такое, что  ∀_i  ∈ N (ξ) n_i+1 -n_i  <C. Утверждение 2.5, доказанное ниже, является, как и Теорема 2.2, совсем не очевидным.

Утверждение 2.5. Инъективное отображение φ*: N→N  , определяющее некоторую последовательность ξ^* = {1,m₁, m₂, ...} где m_i+1 > m_i , с неограниченным шагом является антисюръективным или, другими словами, будет неосуществимо на всём множестве N.

● Пусть, ξ^* будет последовательностью с неограниченным шагом, т. е. для отображения φ*, определяющего ξ^*, и некоторой последовательности ξ

.                                     (2.8)

Теперь при ξ=N и, следовательно, N (ξ) = N имеем n_i = i+1. Значит, для∀_i  ∈ N \ {1}  φ^* (i) = m_i-1 и в этом случае (см. (2.1)) m_i  -i, i ∈ N. Поэтому ∀_i  ∈ N  (m_i+1 -(i+1))-(m_i -i)= m_i+1 - m_i-1. Таким образом, в силу условия (2.8) неравенство С-1 справедливо для i(С) ∈  N. Следовательно, -1+С. Неограниченность последовательности {δ_i*} , соответствующей паре (N, φ*), следует из последнего неравенства в силу произвольности в (2.8) числа С. Значит, отображение φ*, определяющее последовательность  ξ^*  из условия теоремы, является в силу (2.6) антисюръективным. ■

Утверждение 2.5 имплицирует следующую теорему.

Теорема 2.3. Пусть A {n} ⊆ N и B {m} ⊆ N  являются бесконечными подмножества множества N. Тогда существует число C ∈  N такое, что пара (n, m) переменных n и m является C-точной парой переменных (1.2).

●В силу Утверждения 2.5 разность между соседними элементами каждого из множеств А и В ограничена. Следовательно, естественно упорядоченная последовательность ξ  A ∪ B будет также последовательностью с ограниченным шагом, т. е. разность между любой парой её соседних членов ограничена, в том числе, и между соседними элементами подмножеств А и В. Поэтому, как описано в условии (1.2), пара (n, m), (n, m) ∈A x B, является C-точной парой. ■

Следующее ниже Теорема 2.4 является [3, 4] следствием условий (2.3), (2.4a), (2.4b) и (2.7) и обобщает Утверждение 1.2 на множество N.

Теорема 2.4. Не существует биекции между множеством N натуральных чисел и его собственным подмножеством А ⊂  N.

Легко показать, что содержание доказанных выше предложений сохраняется для инъективных отображений φ: А → А, где А ⊂  N.

3. Приложение понятия С-точной пары в анализе

Понятие С-точной пары используется в доказательстве следующих нетрадиционных для анализа утверждений: сходимость ограниченной числовой последовательности (а)   , где a_n  = sin ln n , предельное равенство lim r_n=0 для гармонического ряда  [3, c. 12], эквивалентность ( r_n →0)  ⇔ ( a_n → 0) [4, c. 104] для произвольного числового ряда и др.

Пример 3.1. (Парадокс Г. Галилея, см. [1, с. 140-146]). Очевидно, что для отображения φ: N → N   заданного формулой φ (n)= n² , не выполняется ни одно из необходимых условий сюръективности (2.3), (2.6) и (2.7), но справедливо условие (2.4b) антисюръективности и множество N_φ ⊂  N такое, что N_φ ∩ φ (N) = Ø, является бесконечным. Такие отображения φ: N → N можно называть (ср. [3, c. 87, 89]) тотально антисюръективными.

Пример 3.2. Докажем сходимость ограниченной числовой последовательности (а)  {a_n} , где a_n= sin ln n.

● Докажем это утверждение от противного. Пусть последовательность (а) является расходящейся. Тогда в силу её ограниченности и леммы Больцано - Вейрштрасса [2, c. 84] найдутся, по крайней мере, два бесконечных подмножества B  {m}, A {k} множества N такие, что  и , где ε  b-a ≠ 0. Пусть ε (m,k) sin ln m - sin ln k, т.е. . Так как

ε (m,k) =    М sin (2^-1 (ln m/k) ,

где |М| ≤ 2, то  М sin (2^-1 (ln m/k) . В последнем предельном равенстве, как следует из Теоремы 2.3, пара (m, k) переменных m ∈ B и k ∈ А является С-точной парой (1.2') и

m = k + q(k) , где |q(k)|<C.                             (3.1)

Поэтому   М  =0 в силу (3.1), что противоречит нашему предположению: ε ≠ 0. ■

Пример 3.3. В этом примере мы доказываем, следуя [3, p. 12], справедливость для гармонического ряда  предельного равенства

lim r_n=0.                                             (3.2)

Частичные суммы S_m и  S_k этого ряда имеют оценки (см. [5, с. 319-320]):

S_m = = ln m + C_e + γ_m, S_{k =}= lnk+C_e + γ_k ,                                    (3.3)

где (см. [5, c. 270]) C_e=0,57721566490... - постоянная Эйлера и γ_n  →0. Пусть , т.е. в силу (3.3) = . Очевидно, что остаток r_k ряда определяется равенством . Тогда  . В силу Теоремы 2.3 мы можем считать пару (k,m)  в последнем предельном равенстве C-точной парой натуральных переменных и в силу (1.2') положить  Поэтому справедливо равенство (3.2):

= =0.

Для каждого n n-я частичная сумма S_n ряда есть конечное число, а соответствующий остаток ряда больше любого конечного числа, но при предельном переходе (1.1) всё меняется шаг за шагом наоборот: члены ряда по одному «перебрасываются» из одной суммы (бесконечной) в другую и S_n→ ∞, а r_n → 0, о чём формально пишут так: S = lim S_n = ∞ (в данном примере).

Эквивалентность (r_n →0) ⇔ ( a_n → 0) для произвольного числового ряда доказывается [4, c. 104] аналогично.

Пример 3.4. Одна из форм условия Коши фундаментальности числовой последовательности {a_n}  имеет [2, c.99] в анализе следующий вид:

.            (3.4)

В условии (3.4) множества B  {n} и A {m} совпадают с множеством N | {1,2,...,n(ε)}. Поэтому существует инъекция φ: A → B и φ(A)=B. Пусть переменные m и n в (3.4) связаны, например, n ∈ B равенством

m = ψ (n).                         (3.5)

Выполнимость (осуществимость) этого равенства на почти всём множестве B требуется условием Коши. Для этого отображение ψ: B → A, заданное формулой (3.5), должно удовлетворять необходимым условиям сюръективности (2.3), (2.6) и (2.7) отображения y и заключению Теоремы 2.3. Поэтому, в общем случае, всякая пара (p,q ) переменных p и q, (p,q )∈P x Q ⊆ A x B, необходимо должна быть С-точной парой переменных для осуществимости равенства (3.5) на всём подмножестве Q ⊆ B.

Условие (3.4) имеет (см. [7, p. 355]) эквивалентную, но более конкретную форму записи:

.                                 (3.6)

Равенство (3.5) согласуется с предельным условием (3.6), даже если, например, в (3.5) и (3.6) положить | m -n | < C для некоторого  [4, c. 98].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Галилей Г. Избранные труды:- Москва: «Наука», 1964. - Т. 2. -571 с.
2. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I..-М.:МЦНМО, 2001.-XVI+664 с.
3. Sukhotin, A M. Alternative analysis principles: Study. ‑ Tomsk: TPU Press, 2002. ‑ 43 p.
4. Сухотин, А. М. Начало высшей математики.- Томск, Изд-во ТПУ, 2004.- 148 с.
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления:- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967.-Т. 2.-664 с.
6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления:.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.-Т. 3.-656 с.
7. Weisstein, Eric W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics.-London-New York: Chapman & Hall/CRC, 2002.-3450 p.