Как известно, многие конструкции, такие, как фундаменты доменных печей и фабричных труб, днища резервуаров и газгольдеров и др., рассчитываются по схеме круглых плит на деформируемом основании. Эти конструкции работают под действием нагрузки, симметричной относительно центра, и поэтому во всех точках, равноудаленных от центра плиты, прогибы будут одинаковы. Это обстоятельство показывает, что при расчете плит под действием осесимметричных нагрузок можно ограничиться рассмотрением их лишь в одном единственном диаметральном сечении, проходящем через ось симметрии.

Теории и методы расчета круглых плит, лежащих на однородном изотропном упругом полупространстве, разработаны в трудах М. И. Горбунова-Посадова [1], П. И. Клубина [7], В. К. Голуба и В. И. Моссаковского [2], В. М. Сеймова [8], В. Н. Жемочкина [3], А. Г. Ишковой [6] и др.

В отличие от этих работ в данной статье излагается методика расчета слоистых круглых плит на неоднородном полупространстве с учетом ползучести материала плиты и грунтов основания.

Предлагаемый метод основан на использовании полиномов Гегенбауэра для представления реакции основания и является дальнейшим развитием метода Т. Ш. Ширинкулова [9,10], разработанного для расчета упругоползучих круглых плит на упругоползучем неоднородном основании. Напряженно-деформированное состояние грунтового основания под действием жесткого ленточного фундамента исследовано в [4,5].

Ниже рассмотрим круглые упругоползучие двухслойные плиты радиусами  с постоянными толщинами , свободно (без трения) лежащие на упругоползучем неоднородном основании, модуль упругости и мера ползучести которого с глубиной изменяется по следующим выражениям:

. (1)

Плиты находятся под действием нормальных и осесимметричных нагрузок интенсивности q (рисунок 1).

Рисунок 1. Действие нормальных и осесимметричных нагрузок интенсивности q на плиты

Следовательно, реактивное давление  и прогиб  должны быть осесимметричными. Здесь под r подразумевается отношение абсолютного значения расстояния от центра плиты до произвольной точки к радиусу плиты, т.е. .

Задача сводится к установлению закона распределения реактивного давления. При этом должны быть соблюдены условия равновесия плит в целом, т.е.:

 (2)

и тождественно удовлетворено контактное условие, т.е.:

 (3)

Прогиб плиты определяется решением интегро-дифференциального уравнения изогнутой поверхности, т.е. оно согласно [9], имеет вид:

,

, (4)

где - ядро релаксации; - коэффициент жесткости; W - прогиб плиты.

Осадку основания можно определить как решение интегрального уравнения, связывающего реактивное давление с перемещением поверхностных точек основания. Согласно Т. Ш. Ширинкулову [9], эту величину можно представить так:

, (5)

где Q- область контакта;

;

;

- приведенный модуль деформации.

Уравнения (4), (5) в интегрально-операторном виде соответственно записываются так:

(6)

 (7)

где операторы  определяются согласно формулам:

(8)

- резольвента ядра , т.е.

; ; (9)

Таким образом, согласно данной математической модели, решение исследуемой задачи сводится к решению системы (3),(6),(7) уравнений при (1),(7) и (9) выражениях.

Следуя Т. Ш. Ширинкулову [9], реактивное давление P( может быть представлено рядом из четных полиномов Гегенбауэра , деленных на , т.е.:

. (10)

Нечетные полиномы исключаются из выражения (10) как непригодные по физическим соображениям.

Подставляя (10) в (6) и имея в виду зависимость (8), после интегрирования по r, общее решение уравнения (6) получим в виде: , (11)

здесь - частный интеграл уравнения (6), зависящий от вида заданной нагрузки . Функции  и частный интеграл  в общем виде можно определить из формул:

, (12)

. (13)

Согласно (11), найдем:

, (14)

, (15)

, (16)

Согласно зависимости, связывающей усилия и прогиб плиты, находим:

. (17)

Тогда с помощью формул (14) - (17) можно определить усилия в плите.

Постоянные интегрирования  можно найти из граничных условий рассматриваемой задачи. Коэффициенты разложения  вычисляются на основании уравнений (2) и (3).

Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим следующую задачу. Рассмотрим осесимметричную нагрузкy, действующую на некоторую часть плиты. Пусть внешняя активная нагрузка состоит из равномерно распределенной осессимметричной нагрузки интенсивности q по кругу радиуса α, распределенной сосредоточенной силы P и сосредоточенного момента M, действующего по окружности этого круга (рисунок 2).

Рисунок 2. Сосредоточенная и прерывно-осесимметричная нагрузки

Интегро-дифференциальное уравнение изгиба слоистых круглых плит определяется формулой (6), в которой , а  имеет вид (10).

Обозначим через I внутреннюю область круга радиуса α и через II - внешнюю область по отношению к этому кругу. Полный интеграл уравнения (6) для первой области выразится так:

(18)

а для второй -

. (19)

Радиальные, кольцевые изгибающие моменты  и поперечные силы  для первой и второй областей, согласно (17), будут:

, (20)

 , (21)

, (22)

, (23)

, (24)

, (25)

выражения для функций  имеют вид:

; (26)

; (27)

 (28)

Произвольные постоянные находим из условий в центре и на краю плиты,

а также условий сопряжения областей 1 и 2.

Для выяснения влияния ползучести материала плиты и неоднородности

основания на величины расчетных усилий рассмотрим пример (рисунок 3).

1) ; 2) ; 3)

--------Решение упруго-мгновенной задачи; _____Решение упругоползучей задачи.

Рисунок 3. Эпюры  и  при

Здесь приняты следующие характеристики для материала плиты и грунта:

; ;

.

По результатам вычислений построены эпюры радиальных и кольцевых моментов  и , поперечных сил  и реакций .

При  максимальный изгибающий момент (сплошная линия) в середине плиты уменьшается на 16 % (при t=180 суток) и на 20 % (при =360 суток) по сравнению с решением упруго-мгновенной задачи (пунктирная линия), а эпюра реактивного давления имеет ту же характерную форму, что и при расчете упругоползучих полос на упругоползучем неоднородном основании (рисунок 3). Нетрудно доказать, что с уменьшением показателя неоднородности уменьшается влияние свойств ползучести, например, при m=0,5 максимальный изгибающий момент в середине плиты уменьшается на 12 % (при t= 180 суток) и на 16 % ( при t=360 суток) по сравнению с решением упруго-мгновенной задачи. Ввиду симметричности нагрузки и конструкции на рисунке 3 показаны только правая половина эпюр.

Рецензенты:

• Арапов Б. Р., доктор технических наук, профессор кафедры прикладной механики Южно-Казахстанского государственного университета имени М. Ауэзова, г. Шымкент.
• Исламкулов К. М., доктор технических наук, профессор кафедры математики Южно-Казахстанского государственного педагогического института, г. Шымкент.