Настоящая работа является продолжением работы [8], в которой была изложена аналитическая методика расчета эксплуатационных характеристик частично пористых газостатических подшипников. Ниже рассмотрена аналитическая методика расчета характеристик таких опор при вращающемся вале, т.е. при работе опор в гибридном режиме.
Гибридный режим работы бесконтактных подшипников с внешним наддувом газа характеризуется наличием дополнительной подъемной силы, возникающей в результате вращения ротора. Механизм ее образования заключается в том, что при вращении эксцентрично расположенного во вкладыше вала газ под действием касательных сил вязкости увлекается его поверхностью и вгоняется в клиновидный зазор между валом и вкладышем. Такое явление называют эффектом самогенерации давления или эффектом смазочного клина [1]. С учетом внешнего наддува это приводит к дополнительному сжатию газа в смазочном слое и такому распределению давления, в результате которого несущая способность подшипника увеличивается. Гибридный режим работы подшипников называют также комбинированным.
Вращение вала, в отличие от случая работы опор в режиме подвеса, приводит к асимметричному распределению давления газа в зазоре [4, 5, 7, 10]. Вследствие этого, вал смещается от равновесного положения в направление своего вращения и образует отличный от нуля угол ориентации нагрузки 
(рис. 1). Следует отметить, что малый угол ориентации нагрузки считается целесообразным с точки зрения устойчивой работы опоры [3].
При работе газовых опор в гибридном режиме дифференциальное уравнение для поля давления принимает вид 
или в безразмерных координатах
, (1)
где 
, 
, 
– угловая скорость вращения вала, 
– относительное давление, 
– среднее давление в зазоре подшипника, полученное при решении статической задачи (
) [8], 
– относительная толщина смазочного слоя, 
– число сжимаемости. Решение этого уравнения будем искать в виде 
, где 
– решение статической задачи (), 
– газодинамическая составляющая давления.
При подстановке в уравнение (1) получаем
.
В последнем уравнении сумма первого и пятого слагаемых тождественно равна нулю. В оставшихся слагаемых, в первом приближении, заменим давление 
средним значением 
, в результате получаем уравнение 
.
Первый интеграл этого уравнения имеет вид
, (2)
здесь и далее штрих – производная по 
. Это обыкновенное дифференциальное уравнение, которое в квадратурах не интегрируется. Будем решать его методом малого параметра, в качестве которого можно принять относительный эксцентриситет или число сжимаемости. Тестирующие расчеты показали, что в достаточно широком изменении режимных и конструктивных параметров опоры, более адекватно экспериментальным данным отвечают расчеты, в которых малым параметром является число сжимаемости 
.
Разложим относительное давление в ряд по степеням : 
, 
. 
Постоянная интегрирования 
в уравнении (2) также зависит от , поэтому ее тоже раскладываем в ряд: 
. Подставляя эти разложения в уравнение (2), получаем
. (3)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем бесконечную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. При интегрировании этих уравнений, будут появляться интегралы вида 
, которые можно выразить через интегралы
.
Для последних интегралов легко получить рекуррентную формулу. Действительно, дифференцируя 
по параметру 
, находим 
или
. (4)
Первый интеграл 
вычисляется непосредственно:
.
Если ввести обозначения: 
, 
, то
, где 
.
Дифференцируя необходимое число раз и используя рекуррентную формулу (4), последовательно находим:
, 
, 
;
,
, 
, 
;
,
, 
, 
, 
;
,
, 
, 
, 
, 
;
,
, 
, 
, 
, 
.
При этом 
.
При интегрировании уравнений системы (3) будут появляться постоянные интегрирования, значения которых определяются следующим образом. Из условия отсутствия перетекания смазки в направлении оси 
() получаем равенство [2] 
, откуда находим:
; 
, 
(5)
Приравнивая коэффициенты при первой степени 
, из системы (3) получаем уравнение 
, решение которого имеет вид
, (6)
где 
– постоянная интегрирования. Из первого равенства системы (5) получаем 
, так как функции 
нечетные, а функция 
– четная. Постоянная 
находится из условия непрерывности функции 
: 
, 
.
Подставляя постоянную интегрирования в равенство (6) и приводя подобные слагаемые, получаем решение первого приближения
, (7)
где 
.
При 
из системы (3) получаем второе уравнение 
или, с использованием равенства , 
, откуда
,
где 
.
Из условия непрерывности функции 
получаем 
, а из второго равенства системы (5) (
:
, 
,
где 
. Таким образом, второе решение имеет вид
. (8)
При 
из системы (3) находим 
, откуда:
,
. (9)
Здесь, в силу нечетности функций 
и функции 
(
– нечетная, 
– четная), из третьего равенства системы (5) (
: 
, получаем 
. Постоянная 
находится из условия непрерывности функции 
и вычисляется по формуле
.
По аналогичной схеме находится давление 
. Формула, по которой вычисляется , в виду ее громоздкости, не приводится. Следует отметить, что является четной функцией и представляет собою линейную комбинацию обратных степеней 
со второй по шестую.
В результате, используя формулы (7) – (9), получаем приближенное решение уравнения (3) 
с точностью 
.
С целью проверки адекватности математической модели было проведено сравнение с опытными данными, полученными на экспериментальных стендах [6, 9] ФГБОУ ВПО «КнАГТУ». На рис. 2 представлены результаты расчетов и экспериментальные данные для двухрядного подшипника, имеющего следующие геометрические размеры: длина подшипника L = 60 мм, диаметр подшипника D = 50 мм; средний радиальный зазор с = 45 мкм, диаметр пористых вставок 
= 6,3 мм; раздвижка линий наддува b = 30 мм, высота вставок 
= 7,5 мм. В одном ряду наддува располагалось 6 вставок. В качестве пористых вставок использовалась модифицированная древесина березы с коэффициентом проницаемости 
= 4,23∙10-12 м2.
Для представления характеристик подшипника в зависимости от безразмерного комплекса прямо пропорционального среднему радиальному зазору, в рассмотрение введен конструктивный параметр 
, который был равен 
= 0,266.
Испытания подшипника выполнены при относительном давлении наддува 
и числе сжимаемости 
, равном 
.
Основные интегральные характеристики вычислялись по формулам: 
– несущая способность, 
, 
– коэффициент несущей способности, 
– коэффициент радиальной жесткости смазочного слоя.
Из представленных графиков видна хорошая согласованность теоретических и опытных данных. Максимальная относительная погрешность при вычислении 
, 
не превосходит 10 %.
Рецензенты:
Олейников А. И., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой «Механика и анализ конструкций и процессов» ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре.
Биленко С. В., д.т.н., доцент, зав. кафедрой «Технология машиностроения» ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре.