Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,931

ON A CONVERGENCE OF NUMBER SERIES

Сухотин А.М.
В статье понятие С–точной пары натуральных переменных применяется при доказательстве достаточности необходимого признака сходимости числового ряда: (rn →0)<=>( an → 0). Этот же результат доказан с использованием сходимости к бесконечно большим числам неограниченных конечными числами последовательностей Коши. При рассмотрении свойств числовых рядов из понятий частичной суммы числового ряда и его остатка выделены понятия значений этих сумм, конечной и бесконечной, соответственно. Такой подход сделал прозрачным доказательство независимости сходимости знакопеременного числового ряда от перестановки слагаемых этого ряда. Приведёны иллюстративные примеры.
In this article a concept of natural variables C-pair is applied to prove the sufficiency of a necessary attribute of number series convergence: (rn →0)<=>( an →0). The same result has been proved by means of a convergence of unlimited by final numbers regular sequences to infinite large numbers.

Используя понятие С-точной пары [4], мы доказали [2], [4], что условие Коши ffсходимости числовая последователь­ность (a) можно записать в эквивалентной и соответствующей определению Э. Вайс-штейна  f [12, p. 355] следующей форме

ff                    (0.1)

Там же предельное значение неограниченной конечным числом последовательно­сти Коши (a) мы назвали бесконечно большим числом Ω(a) и { Ω(a) } f Ω.

1. О достаточности необходимого признака сходимости числового ряда

Обозначим символом fZn сумму n первых членов ai числовой последовательности

(а)ff f(a 1, a2, •••, an,....), Nffa 1 +a2 +.....an, а символом Sn - число, равное значению суммы f . Так что

n+1 = Σn + an+1   и  Sn+1  = Sn + an+1 , n N.                                  (1.1)

Определение 1.1. Числовым рядом, определяемым последовательностью (a), назо­вём пару последовательностей n) и (Sn), заданных посредством (1.1), и будем пи­сать

ffff a 1 +a2 +............... + an+ fА.                                      (1.2)

Ниже суммирование у символа Σ предполагается, по умолчанию, от 1 до ∞, что означает неограниченную возможность перехода от суммы  Σn  к сумме  Σn+1. Равенство an = f(n), N, называют также формулой общего члена ряда А.

Определение 1.2. Числовой ряд А называется сходящимся к числу А, если к этому числу сходится числовая последовательность (Sn) значений  Sn  частичных сумм  Σn этого ряда. Предельное значение А последовательности (Sn) называют суммой ряда А и пишут

limSn = A.                      (1.3)

Если предел (1.3) не существует или равен ±<х>, то соответствующий ряд А называ-ется в анализе расходящимся. Из множества расходящихся в классическом смысле чи­словых рядов мы выделяем класс рядов, для каждого из которых числовая последова-тельность (Sn) значений Sn частичных сумм Σ сходится к соответствующему беско­нечно большому числу (ББЧ) Ω(a) .

Необходимым для (1.3) является выполнение очевидного равенства

f                    (1.4)

Равенство (1.2) можно записать в следующем виде

(А)= Σ an =(a1+a2 +..........+an) + (ff Σn + ρn.                    (1.5)

Бесконечную сумму ρn ffв  (1.5), называемую n-м остатком ряда А, обычно не отличают при записи от её значения rn. Тривиальность предела последовательности ( rn ) значений rn остатков ρn ряда А является как и (1.4) необходимым для существова-ния суммы ряда А, то есть для предельного равенства (1.3):

flimrn = 0.                              (1.3')

Необходимые признаки (1.4) и (1.3') объединяет ниже Теорема 1.1 [1 p. 12].

Теорема 1.1. Для произвольного числового ряда Σan   справедлива при n →∞ следующая эквивалентность:

(rn →0)<=>(an 0).

Так как an = rn-1-rn , то, очевидно, что (rn 0)=>(an →0). Пусть, далее, f и f, p > k , суть значения соответствующих частичных сумм аи Σk ряда (A) и Σk Σp.   Если f ,то для каждого k остаток ряда f и ff   . Здесь, не нарушая общности рассуждений, пару (k, p) переменных k и p можно считать С-точной парой [4] и принять, например, p=k+q(K), где 0 < q(k) < C . Поэтому в силу (1.4)

f f=f  (ak+1 + ak+2 +... + ak+q(k) ) =0. ■

У другой формулировки Теоремы 1.1 доказательство короче.

Теорема 1.2. Необходимое условие f сходимости числового ряда является достаточным условием его сходимости.

Предельное равенство lim( Sn- Sn_1 )= lim an =0 есть условие (0.1) фундаментальности последовательности (Sn) значении Sn частичных сумм Σ n числового ряда A. Поэтому для такого ряда справедливо предельное равенства (1.3), где А есть либо конечное число, либо равно некоторому ББЧ. И, значит, rn ->0. ■

2. О сходимости знакопеременных рядов

Числовой ряд A = Σ an   называется знакопеременным, если количества его как положительных, так и отрицательных слагаемых не ограниченны. Такой ряд назы­вается абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его слагаемых. В противном случае говорят об «условной» или «неабсолютной» сходимости знакопеременного ряда. Очевидно, что абсолютно сходящиеся ряды сходятся «быстрее», чем условно сходящиеся, что мы и покажем на Примере 3.3.

В своей диссертации Бернгард Риман излагает [5, I. XII. 3] одно из свойств знакопеременных рядов следующим образом:

«... бесконечные ряды разделяются на два существенно различных класса, смотря потому, остаются ли они сходя-щимися, если сделать все слагаемые по­ложительными, или же этого нет. В пер-вом случае члены ряда могут быть как угодно переставляемы, во втором же сумма ряда, напротив, зависит от поряд-ка членов. В самом деле, пусть в ряде вто­рого класса положительные члены будут

a 1, a2, a3, ..., а отрицательные -b 1, -b2, -b3, ... . Тогда ясно, что суммы Σa и Σ b должны быть расходящимися; действи-тельно, если бы обе были сходящимися, то и весь данный ряд сходился бы после вы­равнивания знаков; если бы сходилась только одна, то данный ряд был бы рас-ходящимся. Нетрудно видеть, что при надлежащей перестановки членов ряд может принять любое заданное значение С. В самом деле, станем брать по очереди сначала положительные члены ряда, пока их сумма не превысит С, затем отрица-тельные, пока сумма не станет меньше С; при этом отклонение суммы от С ни­когда не станет больше, чем абсолютное значение члена, предшествующего послед­ней перемене знака. Но так как величины a и b c возрастанием индекса становятся бесконечно малыми, то отклонения от С при достаточном продолжении ряда ста-нут сколь угодно малыми, а это значит, что ряд сходится к величине С ... ».

Ниже излагается иная точка зрения по этому вопросу, основанная в частности на разделении понятий частичной суммы числового ряда и его остатка на собственно суммы и значения этих сумм.

Следуя почти точно Б. Риману, мы вводим для знакопеременного числового ряда А такие обозначения:

а (2.1)

Тогда ∀ N, Sn = Pm + Ql, и, как доказано ниже (Теорема 2.3), если limPm  f P, lim Ql f Q, то всегда верно равенство A = Q + P . Вначале докажем для знакоперемен­ного числового ряда А следующее ниже утверждение [1, p. 18].

Теорема 2.1. Ряд В, являющийся произвольной перестановкой знакопеременного не абсолютно сходящегося к некоторому числу А ряда А, сходится к тому же числу А.

  • Пусть сходящийся к числу В ряд В:

а= а                            (2.2)

получается отображением φ: N → N , φ(k)=j, ak f bj , из ряда A:

f(2.3)

где   k(n) fmax{k:   ak f bj , j  ≤ n}. Будем шаг за шагом выполнять отображение φ: N -> N, и одновременно строить последовательность (f) частичных сумм fn ряда В и последовательность (f) значений f этих сумм. Получающийся на каждом шаге ряд будем обозначать символом В(n):

А->В(1)->В(2)->...->В(n)->....                                      (2.4)

Следуя [6, 3.52], ряд В(n) называется перестановкой ряда В(n-1). Как результат процесса (2.4), мы получим из тождества

f                   (2.5)

для каждого n ∈ следующие равенства:

 f                       (2.6)

где сумма f, ni < k (n), содержит те слагаемые из частичной суммы  Σk(n) ряда А, которые не вошли в частичную сумму f ряда B (n) и f. Эти преобразования иллюстрирует Рисунок 2.1:

p

Рис. 2.1.

Отметим, что при переходе B (n)->B (n+1) переставляется не более одного из не более чем k(n +1) - n первых слагаемых остатка f ряда B (n), а все члены этой суммы, предшествующие переставляемому слагаемому, сдвигаются в f на одну позицию «в право». Отметим также ещё, что количества слагаемых в суммах Q(n) и f (n) равны. Из (2.6) получаются для всех neN следующие равенства

а

Обозначая значения сумм  f и Q(n) символами f и s(n), соответственно, получим эквивалентное (2.8) числовое равенство

f            (2.9)

Равенство (2.8) и, следовательно, (2.9) для каждого n ∈ можно доказать методом математической индукции, исходя из тождества (2.5).

Так как сумма  fвходит в остаток ρn ряда А, а сумма f входит в остаток f ряда В(n), то в силу (2.3)-(2.7) и (2.9) f, f и f

Теперь мы получаем из (2.9) при предельном переходе следующий результат:

f 

Таким образом, при  n → ∞ в силу предположений  f →  B,  Sn → А  следует  импликация: (f→0, rn→0)=>(B=A).  ■

В общем случае, из равенства (2.8) следует при  Sn->A и  rn->0 эквиваленция: (  f →  B)<=>( f→(A-B)), то есть доказано следующее утверждение:

Теорема 2.2. Если для произвольного числа В из членов сходящегося к числу А знакопеременного ряда А построена произвольным образом последовательность (Σn*) сумм Σn* , последовательность значении Sn* которых сходятся к числу В, то последовательностъ (rn ), получающихся при этом остатков rn* , сходится к числу А-В.

Замечание 2.1. В доказательстве Теоремы 2.1 условие не абсолютной сходимости исходного ряда (А) не использовалось, то есть Теоремы 2.1 и 2.2 справедливы для любого сходящегося ряда. Но в случае не абсолютной сходимости ряда (A) Q и P будут равны соответствующим бесконечно большим числам: Q,PΩ, так как, например, при m →∞  Qm -Qm_1 = qm → 0 . Это предельное равенство является условием (0.1) фунда-ментальности числовой последовательности (Qm). Поэтому Теорему 2.1 следует считать обобщением на знакопеременные ряды соответствующей Теоремы Дирихле о знакоположительных рядах.

Более того, Теорема 2.2 имеет следующее очевидное обобщение.

Теорема 2.3. Если числовая последовательность (a), определяющая сходящийся к числу А числовой ряд А, разбита произвольным образом на две подпоследовательности (a* )и (а),

а

и каждая  из этих подпоследовательностей определяет , соответственно, числовые ряды A* и  а, у которых последовательности (Sn*) и (а) значении Sn*  и а   частичных сумм  Σn*  и а, соответственно , сходятся к некоторым числам (или к некоторым бесконечно большим числам) A*  и а, соответственно, тогда A*  + а =A.

Замечание 2.2. Теорема 2.3 обобщает очевидное свойство неизменности сходимо­сти числового ряда, когда при m → ∞ одна из сумм Σn*  и а, n + k = m, содержит конечное количество слагаемых.

В [7, IV. 1] дано «описание некоторых возможных типов сходимости ряда  аэлементов xi произвольного линейного векторного пространства» в зависимости от вы­бора типа суммирования слагаемых ряда, в том числе отмечены: упорядоченная сходи-мость (A), перестановочная сходимость (B), неупорядоченная сходимость (C) и сходи-мость по подпоследовательностям (D). Перестановочная сходимость в [8, с. 4] называется безусловной сходимостью. Как следует из Теорем 2.1-2.3, справедливость которых сохраняется и для рядов  fэлементов произвольного линейного векторного пространства, отмеченные выше типы сходимости эквивалентны.

Более того, если как-то иначе чем в этой статье определённая сходимость числово­го ряда, не является регулярной (вполне регулярной), то соответствующее определение или его интерпретация или и то, и другое является некорректным.

3. Примеры

Пример 3.1. Пусть А= а=А=ln2. Из условно сходящегося ряда А в [9, с.316-319] ряд В(p, q) «получен следующей процедурой»: после каждыхp последователь­ных положительных слагаемых ряда А ставилось q последовательных отрицательных членов этого ряда. Будем шаг за шагом выполнять, следуя [2, с. 107], указанную выше процедуру и обозначать получающийся на n-м шаге ряд символом Вn (p, q) fа. Получаемая при этом последовательность (а) значений а частичных сумм а рядов асходится к числу В(p, q)=ln(2 а) и при p ≠ q  А ≠ В(p, q).

Покажем, однако, что, если, например, p>q, p + q = 2k , то при n=2ks и s=1, 2, 3,... а→ (А-В(p, q))>0, где а - значение остатка а . Очевидно, что (см. (2.6))

а          (3.1)

где а

Используя следующие ниже два равенства из [9, с. 316-319]:

а                                  (3.2)

где Сe - постоянная Эйлера, а γn →0, мы получим последовательно следующие ниже оценки значений Sn  и f частичных сумм Σn и f, соответственно, и значений r2k и f остатков рn и f рядов А и  а :

f

 

Оценка остатка а в (3.3) получена из (3.1) с помощью равенств (3.2) по формуле

f

Учитывая (3.3) и (3.4), методом математической индукции можно доказать, что для всех n, n ≥ p+q, 

f=ln (2 а) - βn,    а = - ln(а)+ βn,   где    βn →0,   и   lim f= - ln(а ) = A - B (p, q)), (cp. [11, S. 138-139], [10, VIII. 195]).

Это результат имеет простое объяснение: в остатках f рядов а при  p > q "накап-ливаются" отрицательные слагаемые.

С другой стороны, если рассмотреть без связи с рядом А, например, такой ряд B* f 1 +1/3 -1/2 +1/5 +1/7 -1/4 +1/9 +....., то каждая частичная сумма S*n этого ряда будет равна соответствующей частичной сумме f  ряда  а , если у последнего взять p=2 и q=1. Поэтому lim Sn* = ln 2 √2 , но, что легко показать, остаток rn*  ряда B*  стремится к нулю. Это означает, что в отличие от каждого ряда а ряд  B* не является перестанов­кой ряда А. Аналитически отображение φ: N → N , которое определило бы переход A →> B*  , можно задать следующей формулой:

f 

Очевидно, что данная функция φ не удовлетворяет необходимому предельному ус­ловию ff сюръективности отображения N → N, другими словами, оно является неосуществимым на всём множестве N. Это условие получено автором в работах [1-4].

Пример 3.2. Сложив у ряда А= fкаждые два очередных слагаемых ряда мы получим следующий      сходящийся  знакоположительный  числовой  ряд 

А** = а = A = ln 2 , здесь n = 2k - 1 ∈ N

 

Пример 3.3. Выполним над членами ряда  А= f из Примера 3.1 следующие операции: в каждой последовательной четвёрке слагаемых сложим первый с четвёртым и второй с третьим членом. Так полученный ряд

а

будет абсолютно сходящимся к тому же числу А=ln2 числовым рядом, и сходящимся «в два раза быстрее» исходного ряда А.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  • 1.  Sukhotin A.M. Alternative Analysis Principles.-Tomsk: TPU EPF, 2002.
  • 2. Начало высшей математики. Томск: Изд-во ТПУ, 2004.
  • 3. Sukhotin A.M. From G. Galilei's paradox to alternative analysis // 4ecm, List of posters, Section 13.13 (Real analysis), Stock­holm, 2004.
  • 4. Сухотин, А. М. Приложение по-нятия С-точной пары в анализе //Современные проблемы науки и образо-вания, 2007, 5.
  • 5. Риман, Б. Сочинения. - М.; Л.: Гостехиздат, 1948.
  • 6. Рудин, У. Основы математического анализа. - М.: Мир, 1966.
  • 7. Дэй М.М. Нормированные линей-ные пространства. - М.: ИЛ, 1961.
  • 8. Кашин, Б. С, Саакян, А. А. Орто-гональные ряды. - М.: АФЦ, 1999.
  • 9. Фихтенгольц Г. М. Курс диффе-ренциального и интегрального исчисле­ния..- М.: Наука, 1967.-Т. 2.
  • 10 Харди, Г. Г. Курс чистой матема-тики.- М.: Изд-во ИЛ, 1949.
  • 11. Knopp K. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. - Berlin: Springer-Verlag, 1922.
  • 12. Weisstein Eric W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. 2nd ed. - Lon­don-New York: Chapman&Hall/CRC, 2002.