Известно, имитационные характеристики обучающих комплексов по подготовке операторов транспортных систем во многом определяются латентным периодом формирования оператором управляющих воздействий, наличием люфтов в канале управления и др. [4, 7, 8].
Наличие запаздывания усложняет выбор численных методов для имитационного моделирования объекта управления эргатической системы. Действительно, рассмотрим систему второго порядка:
При очень малых 
таких, что ими можно пренебречь (достаточная точность интегрирования обеспечивается уже при шаге 
), придем к задаче без запаздывания:
При больших запаздываниях шаг интегрирования должен соразмеряться с запаздыванием; при 
, можно принять 
, где 
.
В векторно-матричной форме имеем:
– оператор сдвига: 
При 
задача сводится к определению решения:
;
возможно уменьшение шага (вместо 
принять шаг 
, где 
).
При использовании метода Рунге – Кутта второго порядка точности:
При 
, исходная задача с запаздыванием решается приближенно с шагом . Здесь метод Рунге – Кутта принимает вид:
В силу непрерывной зависимости корректно поставленной задачи от запаздывания при небольших значениях запаздывания зависимость между шагом , частотой 
, декрементом затухания 
и заданной точностью 
(при фиксировании остальных параметров системы) остается близкой к той зависимости, которая существует для систем без запаздывания. В остальных случаях для получения требуемых имитационных характеристик обучающего комплекса выбор шага при интегрировании уравнений движения объекта должен осуществляться с учетом величин запаздывания в различных контурах управления. Действительно, рассмотрим моделирование короткопериодической составляющей продольного движения транспортного самолета. В этом случае задача сводится к решению уравнения:
,
где 
– двумерная вектор-функция, 
– квадратная матрица. Задача определяется шестью параметрами: компонентами матрицы и вектора 
.
В случае мнимых корней 
характеристического уравнения решение задачи имеет вид:
где 
– линейно независимые векторы.
При приближенном решении численным методом с шагом для погрешности вычисления методом Рунге – Кутта второго порядка точности справедливо:
,
где 
Так как 
, то 
Имеем:
.
Очевидно, 
. Поэтому в качестве параметров, определяющих систему, можно взять следующие шесть: 
и компоненты векторов 
.
С учетом:
получим:
Из
следует:
.
Как видим, при фиксированных компонентах векторов 
и 
имеем:
и шаг определяется декрементом затухания
и частотой (зависимость для 
приводится на рис. 1).
В рассматриваемом случае полоса рабочих частот ограничена сверху 
10с-1, снизу – 2с-1; безразмерный коэффициент затухания 
изменяется в пределах от 0,4 до 0,9.
Рис.1 .Зависимость шага интегрирования h от 
С ростом величина:
уменьшается (
); допустимый шаг растет с ростом .
Не случайно при настройке тренажеров возникает стремление увеличить коэффициент демпфирования при достаточно больших реальных значениях (приводит к искажению характеристик самолета: увеличение вызывает соответствующее уменьшение собственной частоты ). Точка 
в областях равных оценок пилотажных характеристик сдвигается (оценка пилотажных характеристик тренажера улучшается, а соответствие самолета и модели – ухудшается).
Для системы без затухания (
):
Для отношения максимально допустимых шагов для систем с собственными частотами и 
(оценка сверху) справедливо:
;
В полосе рабочих частот от 2 рад/сек. до 10 рад/сек. допустимый шаг интегрирования изменяется более чем в 10 раз.
Аналогичную оценку для шага можно получить, исходя из условия:
;
Имеем
+
+ 
;
;
.
Откуда:
или 
.
Если
, то 
.
Максимальные значения шагов 
и 
, полученные по условиям и
, соответственно приводятся на рис. 2 (принято В = С = 1).
Рис. 2. Зависимость шага интегрирования h от e и d
Полученные оценки использовались при разработке имитационных моделей объекта управления транспортной эргатической системы с интегрированием уравнений движения в реальном масштабе времени с обновлением начальных условий и переменных параметров на каждом шаге интегрирования [1…3, 5, 6].
Рецензенты:
Родионов Ю. В., д.т.н., декан автомобильно-дорожного института ПГУАС, профессор, заведующий кафедрой «Эксплуатация автомобильного транспорта», г. Пенза;
Логанина В. И., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Управление качеством и технологии строительного производства» Пензенского государственного университета архитектуры и строительства, г. Пенза.
Библиографическая ссылка
Гарькина И.А., Данилов А.М., Нашивочников В.В. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1-1. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=18849 (дата обращения: 16.04.2024).